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Pokémon|integrals|||peas|
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Pour mon chat Albert, la statistique c'est avant tout une histoire de mathématiques.
||cat|||statistic|||||story||
Für meinen Kater Albert ist Statistik vor allem eine Geschichte der Mathematik.
To my cat, Albert, statistics is synonymous with mathematics.
Mais ce qu'Albert ne sait pas, c'est que la palette d'outils mathématiques
||that Albert|||||||palette|of tools|
Aber was Albert nicht weiß, ist das Mathe-Toolset
Albert however doesn't know that the mathematical toolbox
que le statisticien utilise au quotidien est en fait très limitée.
||statistician||||||||limited
die der Statistiker täglich verwendet, ist in der Tat sehr begrenzt.
used by statisticians on a daily basis is in fact very limited.
Dans cette palette, on retrouve principalement le calcul matriciel, l'intégration, et le calcul différentiel.
||||||||matrix|integration||||differential
In dieser Palette finden wir hauptsächlich Matrizenrechnung, Integration und Differentialrechnung.
In this toolbox, we mainly find matrix theory, integration and differential calculus.
Aujourd'hui, c'est de ces deux derniers que je vais parler à mon chat.
Heute werde ich über diese letzten beiden mit meiner Katze sprechen.
Today, I'm going to explain these last two to my cat.
Hoy voy a hablar con mi gato de los dos últimos.
Ne t'inquiète pas Albert, si la vidéo du jour va nécessiter ta pleine attention,
|Don't worry|||||||||require|||
Fear not Albert: while today's video will require your full attention,
elle n'en demeure pas moins à la portée de tous les félins.
||remains||less|||reach||||felids
it is made so that any feline can follow.
<3 Sous-titres réalisés avec amour par Robert Vanden Eynde et Mathéo, merci à eux <3
|titles|made||||Robert|Vanden|Eynde||Mathéo|||
<3 Subtitles made with love by Robert Vanden Eynde and Nathan himself <3
Les fonctions mathématiques, comme le carré de x ou le logarithme népérien de x,
|functions||||square||x|||logarithm|natural||
Mathematische Funktionen wie das Quadrat von x oder der natürliche Logarithmus von x,
Mathematical functions, such as x squared or the natural logarithm of x,
sont un peu comme les Pokémon.
are a bit like Pokémon.
Il y en a beaucoup, certaines sont plus communes que d'autres, et on peut les faire évoluer.
||||||||common||||||||
Es gibt viele von ihnen, einige sind häufiger als andere, und sie können weiterentwickelt werden.
There are many of them, some more common than others, and we can make them evolve.
Par exemple, l'évolution ou intégrale du carré de x est le cube de x divisé par 3 et on note les choses comme à l'écran.
||||integral|||||||cube|||divided|||||||||the screen
Zum Beispiel ist die Entwicklung oder das Integral des Quadrats von x die Kubikzahl von x geteilt durch 3, und wir notieren die Dinge wie auf dem Bildschirm.
For instance, the evolution or integral of x squared is the cube of x divided by 3 and we write things like on the screen.
Le cube de x divisé par 3 peut à son tour être intégré, le résultat est alors x exposant 4 divisé par 12,
|||||||||||integrated||||||exponent||
Die Kubik von x dividiert durch 3 kann wiederum integriert werden, das Ergebnis ist dann x Exponent 4 dividiert durch 12,
The cube of x divided by 3 can in turn be integrated, the result is then x to the power of 4 divided by 12,
une autre fonction que l'on peut encore intégrer si on le désire.
|||||||integrate||||desires
eine weitere Funktion, die auf Wunsch noch integriert werden kann.
another function that we can again integrate, should we feel like it.
Tout comme le Pokémon Evoli, certaines fonctions ont le choix entre plusieurs évolutions.
||||Eevee||||||||evolutions
Like the Pokémon called Eevee, some functions have the choice between several evolutions.
Prenons ainsi la nouvelle fonction affichée à l'écran.
|||||angezeigt||
Let's take|||||displayed||
Let's take the function now displayed on the screen.
La particularité de cette fonction est qu'elle possède trois arguments : non seulement x, mais aussi y et z,
|||||||||arguments||||||||z
What's peculiar about this function is that it has three arguments: not only x, but also y et z,
les lettres utilisées étant arbitraires, j'aurais très bien pu écrire la même fonction
||used|being|arbitrary|I could|||could||||
the letters used being arbitrary, I can also write the same function
avec comme arguments u, v et w à la place de x, y et z.
||||||w||||||||
with arguments u, v and w instead of x, y and z.
Ce qui est important de comprendre, c'est qu'on intègre toujours par rapport à un argument précis.
||||||||integrate|||regard|||argument|
The most important thing to understand is that we always integrate with respect to a specific argument.
Notre nouvelle fonction en comportant trois, il y a trois évolutions possibles qui sont les suivantes.
||||including|||||||possible||||following
Our new function having three of them, the following three evolutions are possible.
De façon générale, Albert, si tu as besoin d'intégrer une fonction,
||general||||||to integrate||
Generally speaking, Albert, if you need to integrate some function,
tu devras consulter des tables d'intégrales, présentes dans tout bon livre de maths.
|will have to|consult|||of integrals|present||||||
you will need to look tables of integrals up; any good math book should contain one.
Via ces tables, on peut ainsi apprendre que l'évolution ou intégrale de x exposant a donne toujours une fraction.
||||||||||||||||||fraction
Thanks to such tables, one can learn that the evolution or integral of x to the power of *a* always leads to a fraction.
Le numérateur est x exposant a + 1 et le dénominateur est juste a + 1.
|numerator|||||||denominator|||
The numerator is x to the power of a + 1 and the denominator is simply a + 1.
Ceci fonctionne avec n'importe quelle valeur de a, à l'exception de -1.
This|||any||||||the exception|
This works with any value of a, except for -1.
Dans ce cas de figure,
In this case,
l'intégrale de x exposant a vaut le logarithme népérien de x, ce qui est noté log(x) par les statisticiens.
the integral|||exponent||equals|||||||||noted|log||||statisticians
the integral of x to the power of a is the natural logarithm of x, which is written log(x) by statisticians.
D'autres résultats classiques sont par exemple que l'intégrale du cosinus de x
|||||||||cosine||
Other classical results are, for instance, that the integral of the cosine of x
vaut le sinus de x, ou que si la fonction f(x) est simplement une valeur b multipliant x,
||sinus||||||||f||||||b|multiplying|
is the sine of x, or that whenever the function f(x) is simply a value *b* times x,
l'intégrale de cette fonction est b fois l'intégrale de x, ce qui fait b fois la moitié du carré de x.
||||||||||||||||half||||
the integral of that function is b times the integral of x, which makes b times half of x squared.
Consulter des tables d'intégrales est toutefois indigne d'un petit chat vivant au 21ème siècle.
||||||unwürdig|||||||
||||||unworthy||||living|||
Having to look tables of integrals up in a book is however not of this day and age anymore.
Pour intégrer une fonction, le plus efficace aujourd'hui est de faire appel à des calculateurs en ligne.
|integrate||function|||effective||||||||calculators||
Nowadays, the most effective way to integrate some function is to use an online computational engine.
Mon préféré, c'est SymPy Gamma ; mais il m'arrive aussi d'utiliser Wolfram Alpha.
|||SymPy|Gamma|||happens|also||Wolfram|Alpha
My favorite one is Sympy Gamma; but I also use Wolfram Alpha.
Par exemple, pour faire évoluer x exposant 4 divisé par 12 dans Wolfram Alpha,
For instance, in order to make x to the power of 4 divided by 12 evolve using Wolfram Alpha,
il faut y entrer le texte suivant ; l'accent circonflexe permettant de mettre le chiffre 4 en exposant de x.
|||||text|||circumflex|||||number||||
one needs to write the following code; the circumflex accent allowing to get x to the power of 4.
Le résultat de cette intégrale est, selon Wolfram Alpha, x exposant 5 divisé par 60.
|result|||||according to||||exponent||
The result of this integral is, according to Wolfram Alpha, x to the power of 5 divided by 60.
Dans SymPy Gamma, un projet open source, il faut noter les choses légèrement différemment, comme à l'écran.
|||||open|source||||||slightly||||
Using SymPy Gamma, which is an open source project, one needs to write things slightly differently, as on the screen.
Le résultat est toutefois bien sûr le même que dans Wolfram Alpha.
|||however||||||||
The result is of course the same as according to Wolfram Alpha.
Intégrer des fonctions mathématiques, cela ne représente toutefois que la moitié de l'histoire.
||||||represents||||half||
Integration is however only half the story.
Car s'il est possible de faire évoluer la plupart d'entre elles,
||||||||most||
While it's possible to make most functions evolve,
il est aussi possible d'aller dans le sens inverse et de faire régresser ces fonctions.
||||||||inverse||||regress||
it is also possible to go backwards and to de-evolve these functions.
Cela s'appelle *le calcul différentiel*.
This is called *differential calculus*.
Si je désire faire régresser la fonction x exposant 5 divisé par 60
In order to de-evolve the function x to the power of 5 divided by 60
par rapport à x, je dois entrer dans SymPy Gamma le texte suivant.
with respect to x, one needs to type the following text in SymPy Gamma.
On récupère alors bien la fonction originale, avant son évolution par rapport à x.
|recovers||||||||||||
We can check that what we get is indeed the original function, before its evolution with respect to x.
Et de la même manière que l'on peut faire évoluer certaines fonctions dans plusieurs directions,
||||||||||||||directions
Note that the same way one has the choice between several evolutions for some functions,
on peut faire régresser ces dernières selon plusieurs directions aussi.
||||||according to|||
one can also make a choice between several de-evolutions for the same functions.
Voici les résultats pour notre fonction à trois arguments.
Here are the results for our function with three arguments.
Remarque au passage Albert comment les choses sont notées, les symboles étranges à l'écran étant des d incurvés.
Note||pass||||||noted||symbols|strange||||||curved
By the way Albert, pay attention to how things are written: the strange symbols on the screen being round ds.
Il est également possible de dériver la fonction plusieurs fois d'affilée,
|||||derive|||||in a row
It is also possible to differentiate the same function several times,
et pas forcément par rapport au même argument.
||necessarily|||||
not necessarily with respect to the same argument.
Ainsi, la dérivée par rapport à z et ensuite par rapport à x donne le résultat suivant.
||derived||||||then|||||gives|||
If one is to differentiate with respect to z and then with respect to x, this is the result.
De nombreuses fonctions ne peuvent toutefois pas régresser indéfiniment.
||||||||indefinitely
However, many mathematical functions cannot de-evolve indefinitely.
Si je parcours de haut en bas les arbres évolutifs des Pokémon Salamèche, Evoli et Bulbizarre,
||||||||trees|evolutionary|||Charmander|||Bulbasaur
If I go from top to bottom of the evolutionary tree for Pokémon Charmander, Eevee and Bulbasaur,
on constate qu'il existe une racine commune, représentée par un œuf,
|stellt fest|||||||||
|observed||||root||represented|||egg
one can see there is a common root, in this case an egg, below which we cannot go.
en dessous de laquelle on ne peut pas descendre.
|below||which|||||
below which one cannot go.
Le même phénomène existe pour de nombreuses fonctions mathématiques.
This rule applies for many mathematical functions.
Si on les dérive suffisamment de fois, elles finissent par se réduire à la valeur 0.
|||derive|sufficiently|||||||reduce|||
If we differentiate them enough times, they will become 0.
Voici par exemple le résultat si on dérive trois fois d'affilée la fonction t exposant deux
Here is, for instance, the result if we differentiate three times the function t to the power of 2
par rapport à son argument t.
with respect to its argument t.
La dérivée de 0 étant encore 0, il n'est pas possible d'aller plus loin que 0.
The derivative of 0 being again 0, it's not possible to go further.
Pour notre fonction aux trois arguments x y et z, la réduction à zéro est facile à obtenir en dérivant deux fois par rapport à son argument x.
|||||||||||reduction||zero||||||deriving||||||||
Regarding our function with three arguments x, y and z, de-evolution to 0 is easy to get by differentiating two times with respect to x.
Il existe toutefois beaucoup de fonctions qui ne peuvent être réduites à l'état d'œuf.
||||||||||reduced||the state|of egg
However, many functions cannot be de-evolved to become an egg.
Pour ne donner qu'un exemple, prenons la fonction sinus de x.
To give one example, let's take the function sine of x.
Si on dérive successivement cette fonction, un cycle sans fin se crée
|||successively||||cycle||||creates
If we keep on differentiating this function, an endless cycle is created
et on constate qu'il n'est pas possible de régresser à l'état d'œuf.
||observed|||||||||
and we see that it is not possible to reach the egg.
À ce stade, Albert, tu te demandes sans doute à quoi l'intégration et le calcul différentiel peuvent bien servir.
||Stadium||||||||||||||||
||stage||||requests||||||||||||
At this point, Albert, you probably wonder what's the point of integration or differential calculus.
L'intégration, pour faire court, c'est le principal outil du statisticien pour calculer des probabilités.
|||short||||tool||||calculate||probabilities
To keep it short, integration is the main tool used by statisticians to compute probabilities.
Nous en reparlerons toutefois dans le futur, le sujet méritant sa propre vidéo.
||will talk|||||||deserving|||
We will speak about it again in the future, this subject deserving a video of its own.
De son côté, le calcul différentiel est l'un des outils mathématiques
|||||||||tools|
Regarding differential calculus, it's nothing less than
les plus puissants que je connaisse,
||powerful|||know
the most powerful mathematical tool I know,
capable de changer le monde.
capable of changing the world.
Par jour, plus d'un demi milliard de canettes à base d'aluminium sont consommées,
|||||||Dosen|||||
|||||||cans|||of aluminum||consumed
Every day, more than half a billion aluminum cans are consumed,
ce qui signifie que des milliers de tonnes de ce métal sont quotidiennement nécessaires pour nous abreuver.
||||||||||||||||tränken
|||||||tons|||||daily|necessary|||water
which means that thousands of tons of this metal is required on a daily basis just so that we can drink.
La forme en cylindre des canettes est une évidence ; l'objet est ainsi agréable à tenir en main
||||||||Evidenz||||||||
|||cylinder||||||the object|||||hold||
Thanks to the cylinder shape of cans, they are easy to hold
en plus de pouvoir être facilement posé sur une surface plane.
|||||easily||||surface|flat
and they stay put on most surfaces.
Mais les dimensions que le cylindre doit avoir afin de minimiser la quantité d'aluminium
||dimensions||||||to||minimize||quantity|
The dimensions this cylinder should have so that aluminum is not wasted
nécessaire à sa fabrication sont beaucoup moins évidentes.
|||manufacturing||||obvious
is however a tricky problem.
Voici, Albert, trois canettes ayant toutes un volume identique de 250 millilitres
|||||||volume|identical||milliliters
Here are, Albert, three cans each with an identical volume of 250 milliliters
et des hauteurs différentes.
||heights|
and different heights.
Si le volume de ces canettes est le même, la surface d'aluminium nécessaire à leur fabrication n'est pas la même.
While the volume of these cans is the same, the surface area of aluminum required to manufacture them is not the same.
Facile à trouver sur Internet, la fonction permettant de calculer la surface d'un cylindre
Easy to find on the Internet, the function allowing to calculate the surface area
selon sa hauteur et son volume est celle-ci.
according to the height and volume of a cylinder is the following.
Via cette fonction, on trouve les surfaces de métal suivantes
||||||Flächen|||
Via||||||surfaces|||
Using this function, we find the following metal surface areas
et on constate que la première canette, plus élancée, nécessite davantage de métal
||||||||schlanker||||
||observed||||can||slimmer|requires|more||
and we see that the first can, which is taller and slimmer, requires more metal
pour sa fabrication que les deux autres.
in comparison with the two others.
Aucune de ces canettes n'est toutefois la canette de 250 millilitres idéale.
||||||||||ideal
However, none of these cans is the ideal 250 ml can.
La canette idéale, c'est celle dont la hauteur h donne la surface de métal
The ideal can is the one such that its height h gives the metal surface area
la plus petite possible.
as small as possible.
En langage de mathématicien, on dira qu'il faut minimiser la fonction
|||mathematician||will say|||||
A mathematician would say that we need to minimize the function
permettant de calculer la surface de métal selon son argument h.
allowing to calculate the metal surface area with respect to its h argument.
Il existe de nombreuses façons de minimiser une fonction par rapport à un
There are several ways to minimize a function with respect to
ou plusieurs de ses arguments ; mais la plus commune est celle que je vais maintenant appliquer
one or several arguments; but the most common is the one I'm going to apply now
et qui repose de façon critique sur le calcul différentiel.
|||||critically||||
and that critically depends on differential calculus.
Je dérive d'abord la fonction selon h avec l'aide de SymPy Gamma ;
||||||||the help|||
I first differentiate the function with respect to h using SymPy Gamma;
et je cherche ensuite la valeur de h telle que la fonction dérivée devienne 0.
|||||||||||||becomes
and I seek then the value of h such that the de-evolved function becomes 0.
La réponse est la racine cubique suivante, obtenue en isolant h,
||||root|cubic|next|obtained||isolating|
The answer is the following cube root, that we get by solving for h,
et pour un volume de 250 millilitres, on trouve une hauteur de 6,8 cm.
|||||||||||cm
and for a volume of 250 millimeters, we find a height of 6.8 cm.
Avec cette hauteur, la surface de la canette sera de 220 centimètres carrés.
||||||||||centimeters|squares
With this height, the surface area of the can is 220 square centimeters.
Le calcul différentiel nous garantit qu'il n'existe aucune autre canette
||||guarantees|||||
Thanks to differential calculus, we know there is no other can
de 250 millilitres avec une surface plus petite encore.
containing 250 millimeters with a smaller surface area.
Ceci dit, Albert, tu as sans doute remarqué que les canettes de 250 millilitres
|||||||noticed|||||
That being said, Albert, you've probably noticed that 250 ml cans
que je ramène du supermarché sont presque deux fois plus hautes que cette hauteur idéale.
||brings||supermarket||||||high||||
I bring back from the supermarket are almost two times taller than this ideal height.
Ces canettes sont plus chères à fabriquer mais néanmoins produites à grande échelle
||||||||nevertheless|produced|||scale
These cans are more expensive to make but nonetheless manufactured on a large scale
car le consommateur apprécie leur forme allongée et semble prêt
||consumer|appreciates||shape|elongated|||
because the consumer likes how they look and is ready
à payer le surcoût de fabrication.
|||additional cost||
to pay the extra cost.
Ce surcoût de fabrication, on peut d'ailleurs facilement le calculer.
This extra cost, one can easily calculate it.
Il suffit de comparer la surface de métal que le fabricant a utilisé
||||||||||manufacturer||
You just need to compare the metal surface area used by the manufacturer
avec la surface minimale nécessaire.
|||minimal|
with the minimal surface area required.
Voici les résultats sur base de quelques produits que j'avais dans mon armoire
||||||||||||cabinet
Here are the results based on a few products I had in my kitchen
au moment de faire cette vidéo, depuis la canette de RedBull jusqu'à la crème de tomate de marque Knorr.
||||||||||RedBull|||cream||tomato||brand|Knorr
while making this video, from the RedBull can to the Knorr creamy tomato soup.
Je ne voudrais toutefois pas que ce tableau paraisse trop mystérieux à mon chat.
|||||||table|appears||mysterious|||
Since I don't want my cat to look at this table as if it's a mysterious thing,
Nous allons donc vérifier ensemble la ligne correspondant à la crème de tomate.
|||||||corresponding|||||
let's check together the line related to the tomato soup.
Comme indiqué, la conserve fait 515 millilitres pour une hauteur de 13,2 cm.
|||can|||||||
As showed, the can has a volume of 515 ml and a height of 13.2 cm.
La surface fabricant est calculée via la formule à l'écran ; ce qui fait bien 370 cm².
||||calculated|||formula||the screen||||well|
The surface area used by the manufacturer can be calculated using the following formula, the result is 370 square centimeters.
La hauteur idéale pour cette conserve est quant à elle calculée via la racine cubique suivante,
|||||||as for||||||||
The can's ideal height is calculated using the following cube root,
ce qui donne 8,7 centimètres.
which gives 8.7 cm.
La surface de métal liée est 356 cm².
The related metal surface area is 356 square centimeters.
Pour finir, la différence entre les deux surfaces est de 14 cm, soit un surcoût de 3,9%.
At last, the difference between the two surface areas is 14 cm, that's an extra cost of 3.9%.
Vous avez probablement cher internaute quelques conserves dans vos armoires aussi.
||||internet user||cans|||cabinets|
Dear viewer, you probably have some cans at home, too.
Avez-vous payé un surcoût de fabrication ?
||paid||||
Did you pay an extra cost for some of them?
Calculez ce dernier, partagez vos résultats avec Albert dans la section commentaires de cette vidéo,
Calculate|||share|||||||||||
Try to calculate it, share your results with Albert in this video's comment section,
et n'oubliez pas que la racine cubique d'un nombre, c'est simplement ce nombre exposant 1/3.
and don't forget that the cube root of something is that something to the power of 1/3.
Comme la plupart de nos vidéos, cette nouvelle vidéo a nécessité une quantité colossale de travail de la part de Laura, Gwenaël et moi-même.
|||||||||||||colossal|||||||Laura|Gwenaël|||
Like most of our videos, this new video required a tremendous amount of work from Laura, Gwenaël and myself.
Si vous aimez ce que nous faisons, et souhaitez nous encourager à poursuivre nos activités,
||||||||||encourage||continue||activities
If you love what we do and want to encourage us to make more,
considérez rejoindre les nombreux fans qui nous soutiennent déjà
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Merci à tous pour votre attention, et à très bientôt pour de nouvelles aventures avec Albert.
Thank you all for your attention and see you soon for the next episode with Albert!
