什么 是 公平 ？ 如何 分配 利益 才能 大家 都 满意 ？ 李永乐 老师 讲切 蛋糕 问题 (2)
每 一個 誠實 的 人 都 是 有利 的
所以 他們 都 應該 是 吧
誠實 地 表達 自己 的 想法
但是 公平 的 方案 不 一定 會 讓 所有人 都 滿意
為什 麽 呢
說 每個 人 都 拿到 了 超過 1/3 的 蛋糕
難道 還不 滿意 嗎
的確如此
為什 麽 咱們 看 一下
對於 C 來講 他 肯定 很 滿意
因為 自己 拿到 了 11/20 的 部分 對 不 對
而 A 只 拿到 了 1/5 B 只 拿到 了 1/4
所以 C 是 最 滿意 的
那 麽 對於 B 來講
A 拿到 這塊 蛋糕 只值 1/4 的 價值 對 吧
而 B 自己 拿到 的 蛋糕 值 3/8
C 拿到 的 蛋糕 值 多少錢 值 3/8 對 吧
因為 你 還剩 了 一塊 不 就是 3/8 嗎
所以 B 感覺 自己 跟 C 是 平等 的
那 既然 平等 的 他 也 沒有 什 麽 不爽
所以 說 C 和 B 這 兩個 人 都 高興
但 問題 是 咱們 再 看 一下 A
A 他 自己 拿 了 1/3
然後 他 覺得 B 這 一份 蛋糕 也 不值錢
他 B 這份 蛋糕 可能 只值 1/4
但是 這樣一來 的話
前 兩個 蛋糕 加 起來 一共 只有 7/12
C 這塊 蛋糕 值 5/12 他 心裏 就 不 高興 了
為什 麽 呢
你 想 我 拿 1/3 對 吧 我 是 公平 的
B 拿 1/4 B 活該 不管 他
但是 C 居然 拿 了 5/12
他 怎 麽 拿 的 比 我 還多 呢
所以 他會 產生 一種 什 麽 心理 嫉妒 心理
這樣一來 A 是 不 高興 的
A 不 高興 怎 麽 辦
舉報 他 對 不 對
就 說 我 現在 的 分配 方案 不 公平
憑什 麽 C 拿 的 比 我 多 對 不 對
雖然 我 拿 的 也 挺 多 我 也 超過 1/3 了
但是 我 還是 不 高興
因為 C 拿 的 比 我 多 對 吧
這就 叫 什 麽 這就 叫 有 嫉妒
在 數學 上 我們 稱之為 有 嫉妒
雖然 我們 是 公平 的
就是 每 一個 人 都 拿到 了 超過 1/3 的 份額
但是 有人 拿 的 比 我 還多 這就 不行
是 吧 就 叫 有 嫉妒
其實 這種 事兒 在生活中 還是 挺 多 的
比如說 我們 經常 聽說 一個 詞兒 叫 分贓不均
就 幾個 人 合夥 去 搶劫
搶劫 完 了 之後 都 有 很多 錢 了
本來 可以 拿 這些 錢 瀟灑 過日子 了
結果 他們 就 互相 殺 對 吧
為什 麽 呢
因為 他們 覺得 自己 拿少 了 是不是
事實上 每 一個 人 都 已經 拿到 了
超過 自己 預期 的 這個 值
但 他們 看到 別人 比 自己 拿 的 多 還是 不 高興
這就 叫 有 嫉妒 的 一種 分配 方案
我們 看 一些 反貪 劇的 時候 發現 有些 領導 幹部
他們 互相 舉報
最後 這個 紀委 一查
你們 全都 有 問題 一起 抓 起來
為什 麽 會 出現 這種 情況 呢
因為 雖然 我 也 貪 了
但是 你 貪 的 比 我 多
所以 我 就 嫉妒 你 對 不 對
這是 一種 有 嫉妒 的 方案
所以 在 這種 情況 下
盡管 數學 意義 上講 是 公平 的
但 依然 不是 最好 的
因為 所有人 都 不 滿意
那 怎 麽 辦 呢
我們 要 想 一個 辦法
就是 有沒有 一種 無 嫉妒 的 方案
這個 無 嫉妒 的 切 蛋糕 方法 是 什 麽 呢
就是 每 一個 人 不光 要 超過 1/N
而且 每個 人 都 要 覺得
每個 人 都 覺得 自己 拿 的 最 多
如果 每個 人 都 覺得 自己 拿 的 最 多
他 不 就 不再 去 嫉妒 其他人 了 嗎
這種 分配 蛋糕 的 方法
就 叫 無 嫉妒 的 分配 蛋糕 方法
那 我們 要 說明
剛才 這種 兩個 人 我切 你 選 的 方法
就是 無 嫉妒 的
A 沒有 嫉妒 為什 麽
因為 A 是 你 切 的
兩塊 都 完全 一樣 你 拿 哪塊 都行
B 也 沒有 嫉妒 為什 麽
因為 你 先選 你 先選 你 肯定 選好 的
所以 你 賴不著 別人
但是 這種 三人分 的 移動 刀法
不是 一個 無 嫉妒 的 方案
那 麽 如果 是 三個 人分 蛋糕
還是 三人分 蛋糕
有沒有 什 麽 無 嫉妒 的 方案 呢
在 1960 年代 有 兩個 數學家
一個 叫做 塞爾 福 裏奇
一個 叫 塞爾 福 裏奇
還有 一個 人 叫 康威
他們 這 兩個 人想 了 一種 方案
通過 這種 方案
就是 可以 讓 每 一個 人 都 沒有話說
每個 人 都 覺得 自己 拿到 的 是 最 多 的
具體來講 是 什 麽 方案 呢
首先 第一個 步驟 有 三個 人 A B C
我們 先 讓 A 切 蛋糕 A 切 蛋糕
然後 切完 了 之後 B 和 C 讓 他們 先選
B 和 C 先選
選完 了 之後 再 讓 A 去 選 A 後 選
在 這種 情況 下
如果 B 和 C 要是 選 的 蛋糕 不 一樣
B 和 C 選擇 如果 不同 那 就 好辦 了
如果 選擇 不同
我們 後面 就 什 麽 都 不 需要 做
A 只要 拿 剩下 的 那個 就 可以 了
所有人 都 會 非常 滿意
為什 麽 呢 咱們 仔細 看
假如 這是 一塊 蛋糕
A 要 把 它 切成 三塊
但是 我們 A 知道 的 說 A 是後選 的
所以 他 為 了 防止 別人 拿到 好 的 怎 麽 辦
他 一定 會 把 這 三個 蛋糕 誠實 地 分成 三份
所以 對於 A 來講
這 三份 的 效用 都 是 1/3 都 是 1/3
他 拿 哪塊 其實 都 無所謂
然後 B 和 C 就 開始 選 了
比如說 B 認為 第一塊 只值 1/4
第二塊 值 1/2
第三塊 值 1/4
所以 B 可能 拿 最大 的
B 就 拿 這 一塊 是不是
這 一塊 就給 B 了
B 拿到 最大 的
C 呢 C 反過來 他 覺得 好像 第三塊 更好
那 於是 C 就 拿 最後 的 這 一塊
這個 時候 B 和 C 都 感覺 自己 賺 了
A 呢 A 就 拿 剩下 的 這個 唄
他 也 無所謂
因為 是 他切 的 蛋糕
他 三個 蛋糕 都 一樣 拿 哪個 都行
所以 如果 B 和 C 選擇 不同
那 麽 這個 方案 就 解決 了
我們 就 不用 管 了
那 麽 關鍵 的 問題 在於
如果 B 和 C 都 看 上 了 一塊 怎 麽 辦
B 和 C 選擇 了 相同 的 一塊
那 麽 這個 問題 就 會 變得 比較 復 雜了
我們 來看 你 看 A 分成 三塊 的 時候
在 他 的 感覺 上 三塊 是 一樣 大 的
但是 B 和 C 的 視角 看來 可能 並 不是 這樣 的
比如說 這個 B 感覺 第一塊 比較 小
第二塊 其次 第三塊 是 最大 的
他 可能 有 這種 感覺
那 在 這種 情況 下 你 讓 他 選 他選 第三塊
同樣 的 C 也 這 麽 覺得
他 覺得 第三塊 最大
那 這個 時候 B 和 C 都 去 想 第三塊
我們 的 操作 就 稍微 復 雜 一點
怎 麽 做 呢
我們 首先 幹 這 麽 一件 事
B 和 C 你 不 都 搶 第三塊 嗎
然後 你 B 幹 一件 事
你 切割 一下
你 切割 最大 的 那 一塊 最大 的 塊
切到 什 麽 程度 呢
使 之 和 第二 大 的 塊
使 之 與 第二 大 的 塊 一樣
就是說 你 看
你 B 和 C 不 都 覺得 最後 一塊 大嘛 對 不 對
然後 你 B 就 幹 一件 事
你 從 最後 這個 最大 的 這 一塊 上 你 切下來 一條
切下來 一條 之後
那 原來 的 這個 叫做 x y z
你 覺得 z 比 y 大
那 你 切下來 一條
讓 這個 變成 是 z'
這個 z' 你 讓 它 和 y 一樣 大
這就 使得 最大 那 一塊
變成 跟 第二 大 的 塊 一樣 大 了
然後 你 多 出來 這 一條 叫 Δz
你 先 把 它 放 一邊 去 對 吧
我們 為什 麽 要 這 麽 幹 呢
這就 類似 於 我們 在 新聞 上 聽到 過 這樣 的 消息
說 有 兩個 人 跑 到 了 4S店 去 買車
結果 兩個 人 都 看中 了 那個 最新款 的車
都 看中 了 搶 爭執不下
結果 有 一個 人 上去 就 猛 踢 了 這個 車 一腳
結果 把 這個 車門 給 踢進去 了
踢 完 了 之後 說 說 這 新車 你 還要 不要
你 要是 要 我還 繼續 踢 是不是
意思 是 咱們 兩個 不 都 是 搶 這個 z 嗎
那 我 現在 就切 一刀
切到 什 麽 程度 呢
切到 跟 第二塊 一樣 大
現在 你 選 吧 對 不 對
好 我們 下面 就 開始 選
怎 麽 選 呢
我們 讓 C 先選 然後 B 其次
B 選完 了 之後 最後 A 我們 再選
按照 這樣 的 一個 順序 去 選 就行了
那 麽 大家 註 意
C 先選 的 時候
它 有 可能 會 去 選 這個 被 切過 之後 的 這個 z'
它 也 有 可能 不選 這個 z'
但是 如果 要是 C 不選 這個 z' 的話
B 就 必須 得選 這個 z'
就 好像 說 你 上去 踢 了 人家 新車 一腳
如果 跟 你 競爭 的 那個 人 沒有 買 這輛 車
那 你 自己 自己 必須 把 這輛 車 買下來 對 不 對
你 不能 踢 完 了 白 踢 吧 是不是
所以 我們 有 一個 規則
如果 C 未選 z' 的話
那 B 就 必須 選 z'
好 現在 按照 這套 規則
A B C 三個 人 就 會 認為
自己 在 這 一輪 中 都 是 最 合算 的
為什 麽 呢
咱們 仔細 想一想 現在 一共 有 三塊
一個 是 x 這塊 蛋糕
一個 是 y 這塊 蛋糕
還有 一個 是 z' 這塊 蛋糕
大家 註 意 Δz 我們 先 不管
就是 x y 和 z'
因為 C 是 先選 的
所以 他 一定 會 覺得 自己 是 最 賺 的
他 不會 嫉妒 別人 對 吧
那 我們 再 看 B
B 它 最 開始 在 切割 這個 蛋糕 的 時候
他 就 把 z 切成 了 跟 第二塊 y 一樣 大 的 z'
所以 對 他 來講 y 和 z' 是 一樣 大 的
你 C 是 先選 了
但是 你 不 可能 把 兩塊 大 的 全都 選走 吧
你 要是 選 了 y 我 就 拿 z'
你 要是 選 了 z' 我 就 拿 y
對 我 來講 沒有 損失
而 x 是 小 的
所以 在 這 一輪 上 我 也 不會 嫉妒 別人
我 也 是 最好 的
那 麽 對於 A 來講
A 最 開始 把 蛋糕 分成 三塊 x y 和 z
大家 註 意 這個 z 變成 了 z'
A 感覺 z' 比較 小 他 不想 選 這 z'
不過 沒 有關 系 z' 絕對 不會 留給 A 的
為什 麽 呢
因為 要不然 就是 C 選 z'
C 如果 沒有 選 z' B 就 一定 要選 z'
這是 規矩 對 吧
這是 規矩
所以 這樣一來 呢
A 拿到 的 一定 是 x 或者 y 其中 的 一個
A 感覺 自己 拿到 了 1/3
A 不 感覺 到 自己 虧了 還是 最 賺 的
這樣一來 三個 人 都 感覺 到 自己 是 最 賺 的
因此 不會 嫉妒 別人 對 不 對
當然 這裏 還有 一個 細節
比如說 B 為什 麽 切 這 一刀 就 剛剛 好
使得 z' 和 y 相等 呢
這個 大家 可以 考慮一下
因為 B 如果 不 這 麽 幹 的話
他 都 會 受到 損失
這裏 我們 不 仔細 解釋 了
好 那 麽 最後 還剩 了 一塊 Δz
這個 Δz 該 怎 麽 去 分割 呢
我們 再 來說 分割 這個 Δz 的 方法
如果 是 C 選 了 z'
我們 先 假設 這種 情況
如果 是 C 選 了 z'
C 把 這個 B 切割 之後
剩下 的 這 一塊 z' 給選 走 了
那 B 就 一定 會選 y 是 吧
那 A 就是 選 x 了
這種 情況 下
他們 怎 麽 去 分 這個 最後 的 這個 Δz 呢
此時 我們 這 麽 幹
我們 讓 B 將 Δz 再 分成 三份 分成 三份
然後 按照 C A B 的 順序 進行 選擇
什 麽 意思
你 剛才 不是 切 了 這 一條 嗎
這 一條 叫 Δz 對 不 對
