香蕉皮 能展 成 平面 吗 ？微分 几何 之 高斯 绝妙 定理
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
最近 有 一個 新聞 刷 爆 的 互聯網
說 是 中科大 26 歲 的 特 任教授 陳 杲
在 復 微分 幾何 領域 攻克 的 一個 世界 難題
有 小朋友 就問 我 說 這 微分 幾何
到底 是 怎樣 的 一門 學科 呢
陳 杲 教授 的 成果 又 是 什 麽 呢
微分 幾何
起源於 數學家 對於 曲線 和 曲面 的 研究
如今 已經 成為 廣義 相對論 的 基礎
與 拓撲學 和 理論物理 密切相關
學過 微分 幾何 的 小夥伴 都 知道
這門 學科 特別 的 復 雜
普通人 很難 理解 它 的 全貌
那 今天 我們 就 來 選 一個 微分 幾何 中
相對 比較 容易 理解 的 概念
高斯 絕妙 定理 來給 大家 體會 一下
微分 幾何 的 魅力
為 了 理解 高斯 絕妙 定理
我們 首先 先來 了解 一個 平面幾何 的 問題
叫做 曲率 還有 曲率 半徑
曲率 和 曲率 半徑 什 麽 意思
我們 都 知道 圓有 半徑
那 麽 一個 曲線 有 半徑 嗎
我們 來看 這是 一個 隨便 畫的 一條 曲線
那 麽 這條 曲線
它 不同 的 地方 彎曲 程度 是 不 一樣 的
我們 就 想 比較 比如說
這個 點 A 這個 點 B 這個 點 C
它 的 彎曲 的 程度 是 吧
怎 麽 比較 呢
人們 就 想了個 方法
我 可以 用 一個 圓去 貼近 這個 曲線
如果 在 一個 很小 的 範圍 內
這個 圓 可以 和 曲線 密接 密接
這個 地方 也 是 圓和 曲線 的 密接
這個 地方 也 是 圓和 曲線 可以 密接
那 麽 這樣 的圓
我們 就 管 它 叫 曲線 這個 點的 曲率 圓
曲率 圓
就是 在 一個點 可以 和 一個 平滑 曲線 密接 的圓
數學 上 可以 證明 一個 平滑 曲線 上
某 一個點 的 曲率 圓是 唯一 的
曲率 圓它 不是 有個 半徑 嗎
曲率 圓的 半徑
我們 就 管 它 叫 曲率 半徑
我們 用 字母 ρ 來 表示
這叫 曲率 半徑 對 吧
曲率 半徑 我們 再 取個 倒數 就 叫做 曲率
曲率 k 它 就 等於 曲率 半徑 的 倒數
有 了 曲率 和 曲率 半徑
我們 就 可以 比較 不同 的點 它 的 彎折 程度 了
咱們 來看 相比 來講
這個 A 點 還是 平坦 一些 對 吧
這個 C 點是 最 彎曲 的
你 觀察 一下 A 點的 曲率 半徑 怎 麽 著
A 點的 曲率 圓 最大
所以 A 點的 曲率 半徑 最大 對 不 對
曲率 半徑 最大 的 時候
它 的 曲率 是不是 就 最小
所以 曲率 半徑 大的點 曲率 就 小
這樣 的點 我們 就 叫 它 平坦 或者 叫 平緩
它 就 不 太 彎曲 對 吧
你 再 看 C C 它 曲率 圓 特別 小
它 曲率 半徑 特別 小
曲率 半徑 特別 小 的話
它 的 曲率 就 比較 大 對 吧
這樣 的點 就是 特別 的 彎曲 的
所以 我們 就 記住 了
凡是 曲率 小 的 它 就 平坦
曲率 大 的 它 就 彎曲 對 不 對
我們 來看 一下 直線 的 曲率 半徑 是 多 大
你 用 一個 圓去給 我 貼合 直線
你 說 多 大 的 圓能 跟 直線 完全 貼 上
是不是 得 無限大 的圓
所以 直線 它 的 曲率 半徑 其實 是 無窮的
直線 的 曲率 半徑 是 無窮大
那 麽 直線 的 曲率 是 多少
直線 的 曲率 是 1/ρ 是 不 就是 0 對 不 對
我們 要 記住 了 直線 的 曲率 是 0
因為 它 最 平坦 是不是
不僅如此
數學家 們 還 定義 了 這個 曲率 的 正負
比如說
我們 定義 說 這個 曲線 向上 彎 曲率 是負 的
向下 彎曲 率 是 正 的
那 你 看 A 這個 點
A 這個 點它 的 這個 彎折 程度 是 往 下 彎 的
所以 我們 叫 它 曲率 是 正 的
B 這個 點它 往 上 彎 對 吧
我們 管它 叫 k 是負 的
C 這個 點又往 下 彎
我們 又 說 k 是 正 的
那 麽 你 這是 一個 平滑 曲線
你 的 曲率 能夠 從 正變 到負
你 中間 一定 有 那 麽 一個點 是 0
也就是說 這 一點
它 是 一小 段 什 麽 線 直線 對 不 對
同樣 道理 從 這個 點 k 是負 的
變成 這個 點 k 是 正 的
中間 有 一個點 k 應該 是 0
這 就是 曲率 的 正負 的 變化
好 我們 現在 已經 知道 了
曲率 有大 有 小 有 正 有負 對 不 對
下面 我們 要 升級 了
從 曲線 升級 到 曲面
我們 要 研究 一下
主 曲率 的 概念
什 麽 叫 主 曲率 呢
我們 首先 來看 這樣 一個 香蕉
我們 知道 這 香蕉 的 表面 它 實際上 是 一個 曲面
比如說 這個 點吧
你 沿 不同 方向 看 它 彎折 程度 不 一樣
你 要 是從 這個 方向 看
它 是 有點 彎
但是 你 要 從 這個 方向 看
它 叫 特別 彎 對 不 對
所以 這個 方向 和 這個 方向
它 是 具有 不同 的 曲率 的
我們 再 來看 它 的 內側
內側 就 更 搞笑 了
你 在 這個 方向 它 有點 彎
而且 往 這邊 彎
你 要是 在 這個 方向 它 很 彎
而且 往 這邊 彎
它 不僅僅 是 彎折 的 程度 不 一樣
它連 彎折 的 方向 都 是 相反 的 對 不 對
好 我們 知道 了 一個 物體 沿 不同 方向
會 有 不同 的 曲率
我們 再來 畫 一個 圖
比如說 這有 一個 煙囪
這個 煙囪 腰 裏 系 兩邊 粗 是 吧
這是 一個 這樣 的 一個 煙囪
好 那 現在 如果 我們 要是 橫著切 一刀 的話
我們 會 切出 一個 圓
它 是 往 這邊 彎 的
你 如果 豎著切 一刀
它會 切出 這樣 一個 邊來 對 不 對
它 是 往左邊 彎 的 跟 香蕉 的 內側 是 有點像 的
所以 在 1760 年 的 時候
微分 幾何 有 一個 奠基者 名字 叫 歐拉
歐拉 我們 已經 不 知道 提了 多少次 了 是 吧
著名 的 數學家 歐拉
歐拉 就 提出 了 這樣 一個 理論
他 就 說 我們 可以 用 不同 的 平面 去 切割 這個 曲面
切割 它 切割 它 的 時候
沿 不同 方向 的 曲率 是 有大有小 的
那 麽 在 曲率 最大 那個 方向
還有 曲率 最小 的 這個 方向
我們 稱之為 主 曲率
這 兩個 方向 我們 就 管 它 叫 主 方向
這 兩個 平面 我們 就 管 它 叫 主平面
主平面 就是 在 切割 這個 點的 時候
那些 平面 裏面 能造 出
最大 曲率 和 最小 曲率 的 那 兩個 平面 是 吧
這就 叫 主平面
然後 歐拉 通過 數學方法 證明 了 這樣 一個 結論
就是 兩個 主平面
為什 麽 兩個 主平面
一個 k 最大 一個 k 最小
兩個 主平面 之間 一定 是 怎 麽 樣 呢
一定 是 互相 垂直 的
這個 是 在 1760 年 的 時候 由 歐拉 證明 的
我們 舉 個例 子
比如 你 看 這 煙囪
這 煙囪 它 橫著 是 一個 主平面
它 的 曲率 是 往 這邊 最大 的
然後 豎著切 又 是 一個 主平面
它 是 這個 曲率 往 那邊 最大
它 倆 之間 是 互相 垂直 的
一個 橫著切 的 面 一個 豎著切 的 面
你 再 來看 這個 香蕉
這個 香蕉 它 在 這個 點 這是 一個 主平面
這又是 一個 主平面
它們 倆 也 是 互相 垂直 的 對 吧
好 那 主平面 之間 一定 是 互相 垂直 的
我們 再 來看 如果 是 一個 平面
平面 就是 它 不是 曲面 了
平面 上 的 每 一個點
它 的 主 方向 和 主平面 情況 又 如何 呢
我 在 這裏 畫 一個 平面
你 會 發現 不管 你 用 什 麽 樣 的 面去 切割 這個 平面
這個 平面 它 都 是 切出來 直線
你 怎 麽 切 它 都 是 直線
所以 對於 平面 來講
它 的 主 曲率 是 多少 呢
不管 是 最大 的 曲率 還是 最小 的 曲率
都 是 0 對 不 對
對於 平面 來講
它 的 主 方向 是 任意 方向
然後 它 的 主 曲率 都 是 0
好 那 麽 主 曲率 這個 概念 我們 也 說完 了
那 下面 我們 就 可 以來 介紹 高斯 絕妙 定理 了
高斯 絕妙 定理
它 為 什 麽 起 的 名字 這 麽 奇怪 呢
什 麽 叫 高斯 絕妙 定理 呢
我們 知道 一條 直線 它 是 可以 畫在 一個 平面 裏 的
當然 你 在 這個 平面 裏
你 這個 直線 也 是 可以 彎 的
你 可以 讓 這個 直線 彎成 這個 樣子 對 不 對
但是 你 在 彎折 的 過程 之中
這個 直線 的 長度 是 可以 不變 的
你 好像 把 一條線 在 平面 上 彎 一下
這個 線 的 長度 它 是 不變 的
我們 可以 進而 讓 這個 面 也 彎起來
就是 這個 面 上面 有 一條 直線
但是 這個 面它 本身 彎 了 對 不 對
面 本身 彎 了 之後 呢
你 會 發現 這條 直線 上
每個 點的 曲率 就 不 一樣 了
原來 是 直線 每個 點 曲率 都 是 0
你 彎 了 之後 這個 曲率 就 不是 0 了 對 不 對
但是 這個 線段 它 的 長度 依然 是 不變 的 對 不 對
那 我們 就 說 呀 這個 長度 怎 麽 著
它 的 長度 實際上 是 與
是 與 這個 曲面 它 彎曲 的 程度
是 與 這個 曲面 彎曲 的 程度 無關 的
不管 你 這個 曲面 怎 麽 彎
反正 這個 直線 的 長度 都 是 不變 的
這個 長度 與 彎曲 的 程度 無關
那 這樣 的 量 我們 給它 起個 名字 叫 內蘊 量
很 顯然 長度 是 個 內蘊 量
長度 它 與 這個 曲面 在 空間 中 的 彎曲 程度
沒 有關 系
如果 其它 的 量 也 能夠 與 彎曲 的 程度 沒 有關 系 的
那 我們 也給 它 起個 名字 叫 內蘊 量
在 1827 年 的 時候
另外 一個 微分 幾何 的 奠基者
那 就是 高斯 數學 王子 高斯
史上 最 偉大 的 這個 數學家
高斯 他 就 發現 了 另外 一個 內蘊 量
他 說 我們 可以 定義 高斯曲率
什 麽 叫 高斯曲率 呢
歐拉 不是 已經 說 了 嗎
在 一個 曲面 上 的 點上 有主 曲率
一個 曲率 最大 一個 曲率 最小 叫主 曲率
我們 把 兩個 主 曲率 乘起來
這個 就 叫做 高斯曲率
他 發現 在 等長 變換 下
什 麽 叫 等長 變換 呢
就是 在 這個 變換 的 過程 之中
它 的 這個 線段 的 長度 是 不會 變化 的
其實 就 類似 於 這 曲面 發生 了 彎曲
在 等長 變換 下 這個 高斯曲率 是 保持 不變 的
高斯曲率 保持 不變 的 意思 就是說
當你 這個 面彎 了 之後
你主 曲率 會 發生變化
比如說 一個 平面 本來 主 曲率 都 是 0
你 這 麽 一彎 它主 曲率 就 不是 0 了
但是 高斯曲率 也 就是 把 兩個 主 曲率 乘起來
它 應該 是 保持 不變 的
高斯 就 發現 了 這 高斯曲率 是 個 內蘊 量
這句 話 我們 好好 解釋一下
比如 大家 看 我 這裏 有 一個 比薩
比薩 它 實際上 一塊 是 個 平面 嗎 對 不 對
因此 它 每個 地方 的 高斯曲率 都 是 多少
剛才 說過 了
是 0 對 不 對
那 我們 吃 比薩 的 時候
如果說 這個 比薩 比較 長
它 就 會 彎 過來 對 不 對
它 一彎 咱們 看 這個 點
沿 這個 方向 上 它 的 主 曲率 已經 不是 0 了
但是 沿 這個 方向 還是 一條 直線
所以 說 它 的 高斯曲率
是 等於 一個 不是 0 的數 乘以 0 還是 0
保持 不變
我們 吃 比薩 的 時候 也 可以 這樣 吃
讓 它 這樣 折 一下
如果 你 要是 這樣 折 的話 你 會 發現
沿著 這個 方向 它 已經 凹 進去 了
這個 主 曲率 不是 0
但是 沿 這個 方向 它 還是 一條 直線
所以 主 曲率 還是 0
這樣一來 的話
高斯曲率 依然 是 保持 不變 的 對 不 對
說完 了 比薩 咱們 再來 說一說 薯片
一般 的 薯片 都 是 這種 馬鞍形 的
所以 我們 來看 薯片 的 正 中央 這個 部位
如果 沿 這個 方向 去 看 它 是 向 這邊 彎 的
如果 要 沿 這個 方向 去 看 它 是 向 這邊 彎 的
所以 這個 點它 的 高斯曲率 不是 0
是 一正一負
乘起來 之後 應該 是 個負 的
雖然 說 這個 薯片 看起來 好像 沒有 辦法 彎
因為 你 一彎 它 就 碎 了
但是 很多 數學 上 的 這個 曲面
它 是 具有 無限 韌性 的
兩個 看起來 完全 不 一樣 的 曲面
它 有 可能 是 經過 彎折 得 出來 的
比如說 像 這個 懸鏈 面 和 螺旋面
它們 之間 其實 就是 等長 變換 的
那 如果說
我們 可以 把 這個 薯片 進行 這個 彎折 的話
那 麽 彎折 了 之後 你 會 發現
它 兩個 主 曲率 都 變 了
但 它 的 乘積
這個 高斯曲率 它 是 不會 發生變化 的
也許 高斯 當年 發現 了 這件 事 之後
覺得 這個 定理 特別 的 神奇
於是 就給 它 起 了 個 名字 叫做 高斯 絕妙 定理
多 說 一句
在 這個 高斯 和 歐拉 那個 時代
人們 研究 微分 幾何 還是 古典 的 微分 幾何
古典 的 微分 幾何
後來 這個 高斯 有 一個 非常 優秀 的 學生
那 就是 黎曼
黎曼 又 把 這個 古典 微分 幾何 進行 了 推廣
就 創造 了 一種 幾何 叫做 黎曼 幾何
以前 我們 也 談到 過 黎曼 這個 人
那 麽 愛因斯坦 在 創立 廣義 相對論 的 過程 之中
就 受 困於 數學
覺得 好像 這個 空間 一旦 彎曲 了
用 歐幾 裏 得 幾何 解釋 不了 了
於是 就 求助於 他 的 同學 數學家 格羅斯曼
而 格羅斯曼 就 把 這個 黎曼 幾何
介紹 給 愛因斯坦 了
然後 愛因斯坦 一看
這個 黎曼 幾何 真 好
於是 愛因斯坦 就 用 黎曼 幾何 創立 了 廣義 相對論
而且 愛因斯坦 還 慨嘆
沒想到 宇宙 的 真理 居然 是 隱藏 在 數學 當中 的
這個 數學 就 指 的 是 這個 黎曼 幾何
那 麽 這個 高斯 絕妙 定理 到底 有什 麽 用 呢
我們 來 介紹 一個 應用
比如說 我們 可以 研究 一下
說 哪 一個 曲面 是 可展 曲面
這個 其實 在 我們 的 生活 當中 還是 挺 有 意義 的
什 麽 叫 可展 曲面 呢
就是 這個 曲面 它 可以 展開 成 平面
我們 舉 個例 子 比如說 我們 都 吃 橘子 是 吧
橘子 那個 皮 你 把 它 扒開 之後 想 變成 一個 平面
那 是 做 不到 的 對 吧
為什 麽 橘子 皮 就 不能 扒開 成 一個 平面 呢
同樣 道理 地球 也 是 一個 球體
你 如果 想 把 地球儀 上 的 圖案畫 在 一個 平面 上
畫成 一個 平面 地圖
那 是 做 不到 的
這個 原因 到底 是 什 麽 呢
咱們 琢磨 琢磨
所謂 可展 曲面 就是 可以 展開 成 平面 的 曲面
我們 先 來看 一下 平面
平面 我們 剛才 剛剛 說過
它 任何 一個 方向 的 主 曲率 都 是 0
所以 主 曲率 的 乘積 高斯曲率 也 必須 是 0
那 麽 在 你 展開 的 過程 之中
這個 平面 的 高斯曲率 是 不會 發生變化 的
所以 如果 一個 面它 是 可展 曲面 的話
可展 曲面 就是 可以 展開 成 平面 的 曲面
在 展開 的 過程 之中 高斯曲率 是 不會 變 的
所以 可展 曲面 也 必須 高斯曲率 是 0
高斯曲率 是 等於 兩個 主 曲率 的 乘積
也就是說
兩個 主 曲率 中 至少 有 一個 曲率 是 0 才行
換句話說
如果 你 想 把 一個 曲面 展開 成 平面 的話
那 麽 過 這個 曲面 的 任何 一個點
都 至少 有 一條 直線
我們 來舉 一個 例子
比如說 這個 圓柱體 它 就是 一個 可展 曲面 是 吧
我們 在 任何 一個點 都 可以 畫出 直線 來
比如 這條 線 就是 直線 對 不 對
那 麽 這種 曲面 我們 把 它 沿著 任意 一個 方向 剪開
任意 一個 方向 我們 把 它 剪開
最後 你 會 發現 它 都 會 變成 一個 平面 對 不 對
就是 因為 它過 任何 一點 都 存在 一條 直線
所以 它 的 高斯曲率 是 0 所以 就 可以 展開
你 再 比如 圓錐
你 說 這個 圓錐 它 能 不能 展開 成 一個 平面 呢
它 是 可以 的
為什 麽 呢
因為 你 在 任何 一個點 你 都 會 找到 一條 母線
這個 母線 它 是 直線
既然 母線 就是 直線
就 說明 這個 圓錐 上 每 一個點 高斯曲率 都 是 0
所以 我們 在 這個 圓錐 上 我 隨便 剪 一刀 對 吧
我 隨便 地 這個 剪 一刀
剪 完 了 之後
它 就 能夠 展開 成 一個 平面 了 對 不 對
就 可以 展開 成 平面 了
但是 如果 是 一個 橘子 的話
你 就 會 發現 它 的 表面 沒有 一條 直線
所以 你 把 它 剪開 之後
它 也 不 可能 變成 一個 平面
人們 在 高斯 之後 才 認識 到 這個 問題
在 高斯 之前 人們 畫 世界地圖 總是 畫 不準
而且 還不 明白 為什 麽
高斯 之後 人們 才 明白 了
因為 地球 上 的 圖案 是 不 可能 畫在 一張 平面 上 的
那 怎 麽 畫 地圖 呢
人們 采用 了 各種 方法
比如說 有 一種 叫做 墨卡托 投影 的 方法
墨卡托 投影
墨卡托 投影 的 意思 是 說
雖然 我們 沒有 辦法 把 地球 上 的 圖案
直接 放在 一個 平面 上
但是 我們 可以 做 投影
比如 這是 一個 地球 是 吧
我們 在 地球 外邊 我套 一個 圓柱 套個 圓柱
套 完 了 圓柱 之後
我 就讓 這個 地球 上 每 一個點
都 映射 到 這個 圓柱 上 是不是
然後 我們 再 把 這個 圓柱 給 展開
這不 就行了 嗎 對 吧
但是 這樣 展開 之後
雖然 地圖 能畫 出來 但是 你 會 發現 很 奇怪
你 比如說 南北 兩極 的 部位
它 的 那個 面積 會 擴大 的 很多 是 吧
格陵蘭島 看起來 比 非洲 還大
這個 南極 大陸 看起來 比 歐亞大陸 還要 大 是 吧
這種 投影 它 是 有 一定 的 失 真的
那 麽 除了 地圖 之外
現代 社會 人們 對於 美的 追求 越來越 高 了
所以 在 這個 設計 產品 上 設計 產品 上
很多 時候
也 需要 考慮 到 這個 曲面 是不是 可展 曲面
比如說 設計 跑車 設計 手機 的 外形 等等
你 設計 的 時候 總是 有 兩個 思路
一個 思路 就是 你 可以 用 可展 的 這樣 的 曲面
還有 一個 思路 就是 可以 用 不可 展 的
不可 展 的 這樣 的 曲面
那 麽 可展 曲面 它 制造 起來 就 比較 容易
就是 我們 可以 先造 一個 平 的 殼
然後 通過 某些 方法 把 它 壓彎
這樣 就 可以 造出來 了 是 吧
上色 也 比較 容易
比如說 我們 可以 采用 這個 彩色 膜片 貼合 技術
彩色 膜片 貼合 技術
什 麽 意思 呢
就是 我們 在 這個 玻璃 殼 底下
我們 墊 一張 這個 平 的 彩色片
然後 通過 一些 方法 一壓 把 它 壓彎
這個 緊緊 貼合 到 一起 就行了
但是 如果 想做到 這 一點
你 必須 保證 這個 外殼 它 是 可展 曲面
就是說 它 雖然 是 彎曲 的 但 它 是 可以 展開 的
但 也 有 一些 手機 設計 它 就 不 走 尋常路
非要 造出 一些 不可 展 的 曲面 來
比如說 OPPO 新出 了 一個 手機 叫 OPPO Find X3
這個 OPPO Find X3 它 的 這個 後 殼
就是 采用 了 一個 不可 展 曲面 的 設計
我們 來看
這個 手機 的 後 殼 設計 了 一種 比較 特殊 的 曲面
稱之為 " 環形山 "
這 兩面 ( 口誤 ) 它 的 高斯曲率 都 是 正 的 是 凸起來 的
到 了 這個 面 形成 了 一種 馬鞍 的 形狀
就是 凹 進去 的 所以 高斯曲率 是負 的
那 麽 你 環繞 一圈 的 高斯曲率 就 一會 正 一會 負
設計師 在 做 這個 設計 的 時候
把 整個 弧面 分成 了 2000 多個 點
實現 了 這個 鏡頭 和後殼 的 完美 融合
實現 了 不 可能 曲面 的 設計
除了 設計 難 之外 另外 一個 難點 在於 制造
不管 你 這個 高斯曲率 是 正 的 還是 負的
只要 你 不 為 0 你 就是 不能 展成 平面 的
只要 你 不能 展成 平面 的 必須 是 一次 成型
除了 攝像頭 開孔 之外
整個 後 殼 沒有 任何 開孔 和 拼接
這也 是 很多 旗艦機 所 追求 的 工藝
那 麽 在 上色 的 時候
也 不能 采用 這種 彩色 膜片 貼合 技術 的
因為 它 沒有 辦法 展開
所以 那樣 做 的話 會 出現 氣泡 那 我們 怎 麽 辦 呢
OPPO 的 工程師 采用 的 是 噴塗 樹脂 液
鍍膜 以及 噴油 墨 的 這種 方法
這種 技術 不光 能夠 讓後殼 看起來 鮮艷 明亮
而且 能夠 在 手機 跌落 的 時候
減少 手機 後 殼 破碎 的 概率
不僅僅 是 手機 在 現在 的 生活 中
很多 設計師 都 善於 用 曲線 給人 帶來 美感
比如說 北京 有 許多 現代 的 建築
像 北京 的 鳳凰 國際 傳媒 中心
大興 國際機場 望京 Soho
他們 的 設計師
都 用 了 大量 的 曲線 來給 人 帶來 美的 感受
這些 優美 的 建築
都 凝聚 了 設計師 和 建造 者 們 的 心血
人們 越來越 發現 曲線 相比 於 直線
能夠 給人 帶來 一種 特殊 的 美感
當 我們 在 欣賞 這些 美麗 的 產品 的 時候
也 不妨 想一想
它 每 一個點 的 高斯曲率 是 正 的 還是 負的 呢
因為 即便 有 一天 這些 建築 和 產品 發生 了 扭曲
它 在 這 一點 的 高斯曲率 依然 是 不會 發生變化 的
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