0.999…=1？数到底是什么？What ARE numbers? What are numbers|||numbers 0.999...=1 Was sind Zahlen? 0.999...=1 What ARE numbers? 0,999...=1 ¿Qué SON los números? 0,999…=1? Czym dokładnie są liczby? Czym SĄ liczby?

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 Hello, everyone, I am Mr. Lee Yong Le. Witam wszystkich, nazywam się Li Yongle. 经常 有 小朋友 问 我 这样 一个 奇怪 的 问题 Dzieci często zadają mi takie dziwne pytanie

0.999… 到底 等 不 等于 1 呢 |||equals| 0.999… Is it equal to 1? 0,999… Czy to jest równe 1?

如果 我们 在 网络 上 搜索 这个 问题 的话 |||||search||| Jeśli przeszukamy sieć w poszukiwaniu tego pytania

会 看到 许多 用 初等数学 的 方法 进行 了 证明 ||||elementary mathematics||methods|||proof zobaczymy wiele dowodów w elementarnej matematyce

但是 这个 看似 简单 的 问题 其实 必须 使用 数学 公理化 ||seems like|||||||mathematics|axiomatization Aber dieses scheinbar einfache Problem muss tatsächlich mathematisch axiomatisch sein But this seemingly simple problem must be axiomized by mathematics Ale ten pozornie prosty problem musi być w rzeczywistości matematycznie aksjomatyczny

和 实数 的 构造 才能 进行 严格 的 证明 |real numbers||construction|||rigorous|| und die Konstruktion reeller Zahlen kann streng bewiesen werden And the construction of real numbers can be rigorously proved a konstrukcja liczb rzeczywistych może być ściśle udowodniona

今天 我们 就 通过 这个 例子 |||||example Dzisiaj przejdziemy przez ten przykład

带 大家 了解 一下 数学 公理化 的 无限 魅力 |||||axiomatization||infinity|charm Nehmen Sie den unendlichen Charme der mathematischen Axiomisierung mit Let everyone understand the infinite charm of mathematics axiomatization

为了 了解 数学 公理化 |||axiomatization Mathematische Axiomisierung verstehen To understand the axiomatization of mathematics

我们 首先 从 一个 大家 都 知道 的 概念 有理数 说起 ||||||||concept|rational numbers|

什么 叫 有理数 呢

有理数 就是 表示 一个 数字 可以 写成 两个 整数 的 比 Rational number||||a number||written as||integer|| Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann A rational number means that a number can be written as the ratio of two integers

如果 P 等于 m/n 而且 m 和 n 都 是 整数

那 这样一来 这个 P 就是 一个 什么 数 就是 一个 有理数 |||||||number|||rational number Dann ist dieses P eine rationale Zahl.

对 吧 就是 个 有理数

很 显然 在 数轴 上 有 非常 多个 有理数 |||number line||||many| Offensichtlich gibt es viele rationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl

比如说 0 就是 有理数 对 吧

1 也 是 有理数 2 也 是 有理数 -1 也 是 有理数 |||||rational number|also||

所有 的 整数 点 都 是 有理数 ||integer|||| All integers are rational numbers.

但是 不是 整数 的 点 也 有 有理数 Aber auch Punkte, die keine ganzen Zahlen sind, haben rationale Zahlen

比如 0 和 1 之间 还有 什么 Like, between 0 and 1, what else?

还有 正 中央 这个 点 1/2 1/2 也 是 有理数 ||the center|||||

0 和 1/2 之间 的 正 中央 那个 点 叫 1/4 ||||center||| Der Punkt in der Mitte zwischen 0 und 1/2 heißt 1/4

1/4 是不是 也 是 有理数 Is 1/4 a rational number?

如果 我们 取 0 和 1/4 中间 那个 点 是 1/8 ||take|||||

1/8 是不是 也 是 有理数 这 就 说明 是 什么

说明 在 0 和 1 之间 其实 有 无穷 多个 有理数 ||||||infinite||rational numbers

这是 我们 知道 的 第一个 结论 |||||conclusion

这个 结论 叫 有理数 的 稠密性 |conclusion||||density Diese Schlussfolgerung wird als Dichte rationaler Zahlen bezeichnet This conclusion is called the density of rational numbers

稠密性 的 意思 是 说 在 任意 两个 有理数 之间 density property||||||any|||

任意 的 两个 有理数 之间 都 有 无穷 多个 有理数 any|||||||||

这个 我们 就 称之为 有理数 的 稠密性 |||called|||density of rational numbers

毕达哥拉斯 就 认为 说 数轴 上 的 所有 点 其实 都 是 有理数 Pythagoras||||number line||||||||rational numbers Pythagoras glaubte, dass alle Punkte auf dem Zahlenstrahl tatsächlich rationale Zahlen sind Pythagoras believed that all points on the number line are actually rational numbers.

有理数 是 稠密 的 而且 是 连续 的 ||dense||||continuous| Rational numbers are dense and continuous

但 事实上 并非如此 对 吧 |in fact|not the case|| Aber das ist nicht der Fall, oder?

我们 很 容易 构造 出 一个 无理数 来 怎么 构造 |||construct|||irrational number|||construct Wir können leicht eine irrationale Zahl konstruieren, wie man konstruiert

我们 可以 以 0 到 1 之间 的 距离 为 边长 做 一个 正方形 ||||||||side length|||square Wir können ein Quadrat mit Seiten zwischen 0 und 1 erstellen

这个 正方形 边长 就是 1 ||side length| Die Seitenlänge dieses Quadrats ist 1

于是 它 的 斜边 是 多长 斜边 是 √2 对 吧 |||hypotenuse||how long|hypotenuse||| Wie lang ist also seine Hypotenuse? Die Hypotenuse ist √2, richtig?

我们 利用 尺规 把 这个 √2 画 一个 圆 画 上去 ||compass and straightedge||||||| Wir verwenden ein Lineal, um einen Kreis auf diesem √2 zu zeichnen

那么 这个 点 数字 对应 就是 √2 ||||corresponds to| Dann entspricht diese Punktnummer √2

√2 它 就 不是 有理数 它 不能 表示 成 两个 整数 的 比 对 不 对 |||rational number||||||integer|||||

所以 有理数 其实 并 不是 连续 的 |||||continuous|

这个 在 数学 上 我们 称之为 有理数 是 不 完备 的 |||||||||complete| Das, was wir in der Mathematik rationale Zahlen nennen, ist unvollständig

有理数 是 不 完备 的 |||complete|

也就是说 虽然 有理数 是 无限 稠密 的 ||||infinite|dense| Das heißt, obwohl rationale Zahlen unendlich dicht sind

你 随便 给 我 找 两个 有理数 它们 中间 都 有 无限 多个 有理数 |casually|||||||||||| You can find me two rational numbers and they have infinitely many rational numbers in between

但是 这些 个 有理数 它 并 不是 连 着 的 Aber diese rationalen Zahlen sind nicht zusammenhängend But these rational numbers are not connected

它 中间 有 无理数 隔 着 |||irrational number|between|indicating a state Es hat irrationale Zahlen dazwischen There are irrational numbers in between

并且 比如说 1 和 2 之间 它 不仅仅 有 √2 这么 一个 无理数 |||||not only|||| And for example, between 1 and 2, it is not only an irrational number like √2

它 有 很多 个 无理数

举个 例子 √2 是 在 1 和 2 中间 的 无理数 吧 give an||||||||

1+√2/2 这个 数 也 是 无理数 而且 它 也 在 1 和 2 之间 对 吧

1+√2/2^2 这个 数 也 是 无理数 ||||irrational number

1+√2/2^3 它 也 是 无理数

所以 在 1 和 2 之间 其实 有 无穷 多个 无理数 ||||||infinite||

换句话说 任意 两个 有理数 之间 也 有 无穷 多个 无理数 In other words|any||||||infinite||

所以 有理数 是 稠密 的 但是 它 并 不是 连续 的 |||||||||continuous|

它 在 数轴 上 是 以 一大堆 的 这样 的 点 的 形式 存在 的 ||||||a big pile||||||form|| Es hat die Form eines Bündels dieser Punkte auf der Zahlenlinie It exists in the form of a large number of such points on the number line

它 无限 的 稠密 但是 它 却 不是 连续 的 |infinite||||||||

我们 究竟 该 怎么样 去 定义 无理数 呢 |exactly||||definition|| Wie sollen wir irrationale Zahlen definieren?

这 实际上 是 一个 数学 难题 |||||problem Es ist eigentlich ein mathematisches Problem

以至于 很多年 以来 很多 数学家 拒绝 承认 无理数 是 数 so that|many years|for many years||mathematicians||acknowledge||| So viele Mathematiker haben sich jahrelang geweigert zuzugeben, dass irrationale Zahlen Zahlen sind

他们 认为 有理数 实数 没 问题 无理数 就 不是 数 |||real numbers|||||| Sie denken, dass rationale Zahlen und reelle Zahlen in Ordnung sind und irrationale Zahlen keine Zahlen sind

除非 你 给 它 一个 定义 unless|||||definition es sei denn, Sie geben ihm eine Definition

那么 这个 问题 直到 什么 时候 才 解决 |||until||||

实际上 是 到 19 世纪末 20 世纪 初 的 时候 |||the end of the 19th century|century|beginning||

轰轰烈烈 的 数学 公理化 运动 开展 之后 它 才 真正 解决 了 vigorous and intense|||axiomatization||developed||||really|| Es wurde erst wirklich gelöst, nachdem die energische axiomatische Bewegung der Mathematik begann.

从 第一次 数学 危机 发现 无理数 到 最后 无理数 被 解决 掉 |||crisis|||||||| Von der Entdeckung irrationaler Zahlen in der ersten mathematischen Krise bis zur endgültigen Lösung irrationaler Zahlen

一共 花 了 2000 多年

那么 数学 公理化 到底 是 怎么回事 呢

数学 公理化 是 指 从 第一次 数学 危机 人们 讨论 √2 |Axiomatization||||||crisis|| Mathematische Axiomatik bezieht sich auf Diskussionen aus der ersten mathematischen Krise √2

第二次 数学 危机 人们 讨论 无穷小 到底 是 什么 |||||infinitesimal|||

人们 就 觉得 数字 需要 基础 |||||foundation

你 必须 告诉 我 数字 到底 是 什么

就 像 欧几里得 当年 在 《 几何 原本 》 里边 写 ||Euclid|||geometry|Elements|| Wie Euklid in den Elementen der Geometrie schrieb

从 五条 公设 推出 其他 所有 结论 一样 |Five postulates|axioms|derived|||conclusion| Alle anderen Schlussfolgerungen werden aus den fünf Postulaten abgeleitet

那数 到底 是 什么 对 吧 that number|||||

那么 为 这件 事 作出贡献 有 很多 人 ||||contribute|||

比如说 有 这个 柯西 有 这个 康托尔 |||Cauchy|||Cantor Da gibt es zum Beispiel diesen Cauchy und diesen Cantor

还有 我们 今天 所要 讲 的 叫做 戴德金 |||we are going to||||Dadejin Und worüber wir heute sprechen werden, heißt Dedekind And what we are going to talk about today is called Dai Dejin

我们 通过 戴德金 的 这种 方法 来 思考 一下 数学 的 公理化 Let’s think about the axiomatization of mathematics through Dedekin’s method.

戴德金 分割 |Dai Dejin's division Dedekind-Abteilung

戴德金 德国 数学家 他 是 高斯 的 学生 |||||Gauss||student

也 是 黎曼 和 狄利克 雷 的 同事 ||Riemann||Dirichlet|||colleague Auch ein Kollege von Riemann und Dirichlet

那么 戴德金 这个 人 他 提出 了 一种 方法 |Dai Dejin||||proposed|||

说 我们 可以 通过 这样 的 办法 来 构造 一个 实数 ||||||||construct|| Angenommen, wir können auf diese Weise eine reelle Zahl konstruieren

我 就 告诉 你 实数 是 这个 样子 的

以后 你 就 承认 了 无理数 它 就是 数 了 说 怎么弄 |||admit||||||||how to do it Später werden Sie zugeben, dass irrationale Zahlen nur Zahlen sind.

首先 我们 知道 在 一个 数轴 上 |||||number line|

应该 有 无穷 多个 有理数 点 对 不 对 ||infinite||rational numbers||||

这些 都 是 有理数 点 有理数 我们 一般 是 把 它 写成 Q

戴德金 说 你 这样 你 把 这个 有理数 分成 两段 ||||||||divide into|two segments Dedekind sagte, Sie mögen das, Sie teilen diese rationale Zahl in zwei Teile

把 它 中间 一切 分成 两断 |||||two parts Teilen Sie alles dazwischen

一个 集合 是 A 一个 集合 是 B |set||||set||

这个 集合 A 和 B 之间 有 什么 特点

首先 第一个 它 的 分割 方法 分割 成 A 与 B ||||division method|||||| Zunächst wird seine Segmentierungsmethode in A und B unterteilt

对 吧 分割 成 A 与 B ||divide into||||

并且 有个 特点 就是 A∩B 是 空集 |||||||empty set Und es gibt ein Merkmal, dass A∩B die leere Menge ist

A∩B 是 空集 是 什么 意思 呢 |||empty set||||

就是说 A 和 B 没有 重复 的 元素 |||||||elements Das heißt, A und B haben keine sich wiederholenden Elemente

你 把 有理数 的 点 分成 了 两个 部分 ||rational numbers||||||parts Sie teilen den Punkt der rationalen Zahl in zwei Teile

这 两个 部分 一个 是 A 一个 是 B 它们 没有 重复 的 元素 Die beiden Teile, einer ist A und der andere ist B, sie haben keine sich wiederholenden Elemente

但是 A∪B 它 却 必须 是 有理数 Aber A∪B muss eine rationale Zahl sein

也就是说 A 和 B 的 元素 加 起来 它 刚好 等于 有理数 ||||||||||is equal to| Das heißt, die Elemente von A und B ergeben genau die rationale Zahl In other words, the elements of A and B add up to be equal to a rational number.

相当于 中间 切 一刀 ||cut| Entspricht einem Messer in der Mitte Equivalent to a cut in the middle

不仅如此 他 还有 一个 要求 第二个 要求 Moreover||||||

第二 要求 是 什么

就是 假如 有 一个 元素 a 它 是 属于 第一个 集合 的 ||||||||is in||| Das heißt, wenn es ein Element a gibt, das zur ersten Menge gehört

有 一个 元素 b 它 是 属于 第二个 集合 hat ein Element b, das zur zweiten Menge gehört

显而易见 a 和 b 它 都 是 有理数 obvious|||||||

因为 A 和 B 是 在 有理数 集合 上 分割 出来 的 Weil A und B auf der Menge der rationalen Zahlen aufgeteilt sind

那么 则 一定 会 有 一个 结论 a Dann muss es eine Schlussfolgerung geben a

这 就 说明 其实 就是 a 集合 它 是 在 b 集合 的 左侧 |||||||||||||left side Das bedeutet, dass die a-Menge tatsächlich auf der linken Seite der b-Menge liegt

好 如果 你 做 这样 的 一个 分割 Nun, wenn Sie so einen Split machen

我们 就 称之为 戴德金 分割 Wir nennen es die Dedekind-Spaltung

这个 分割 有 很 多种 方法 比如说 你 可以 在 0 这切 一刀 ||||||||||this cut|

0 左边 的 是 一类 0 右边 的 是 一类 对 吧 |||a type|||||| 0 ist eine Klasse links, 0 ist eine Klasse rechts, richtig?

你 可以 在 2 这切 一刀 你 还 可以 在 √2 这切 一刀

所以 戴德金 分割 有 很 多种 方法

那么 这个 分割 的 结果 是 怎样 的

第二个 我们 来说 一下 分割 的 结果

戴德金 经过 讨论 说 这个 分割 结果 有 以下 的 这么 几种 可能 |||||||||||several| Nach Diskussion sagte Dedekind, dass das Segmentierungsergebnis die folgenden Möglichkeiten hat

第一种 可能 是 什么 呢

第一种 可能 叫做 A 中有 最大 B 中 无 最小 ||||in A||||| Die erste Möglichkeit heißt die größte in A und nicht die kleinste in B The first possibility is that there is a maximum in A and no minimum in B

有人 说 这 什么 意思 jemand sagen, was das bedeutet

什么 叫 A 中有 最大 B 中 无 最小

我 举个 例子 比如说 我们 把 A 集合 写成 这个 样子 Lassen Sie mich ein Beispiel geben, sagen wir, wir schreiben den A-Satz so

一个 数字 它 是 有理数

但是 这个 数字 它 小于 等于 2 ||||less than| Aber diese Zahl ist kleiner oder gleich 2

这 就 表示 所有 小于 等于 2 的 有理数 Das bedeutet, dass alle rationalen Zahlen kleiner oder gleich 2 sind

大家 想象 一下

这个 时候 A 集合 中 最大 的 元素 是不是 就是 2 对 吧 Zu diesem Zeitpunkt ist das größte Element in der A-Menge 2, richtig?

这 叫 A 中有 最大 那 B 呢 Dies nennt man das Größte unter A, welches B?

B 我们 自然而然 要 把 它 写成 {x|x 属于 Q,x>2} ||naturally||||||||| B Wir schreiben es natürlich als {x|x gehört zu Q, x>2} 对 吧 变成 这个 样子

那么 B 中 没有 最小 的 因为 B 中 的 最小 元素 是 大于 2 |||||||||||||greater than dann gibt es kein kleinstes in B, weil das kleinste Element in B größer als 2 ist

它 没有 一个 最小 的 元素

这种 情况 下 如果 我们 在 这个 图上 画 的话 |||||||this diagram||

大概 可以 画成 这个 样子

A 这儿 有 一个 实心 的 点 表示 A 中有 一个 最大 的 元素 ||||solid|||||||||

而 B 没有 实心 的 点 B 这 一端 是 没有 点 的 Und B hat keinen festen Punkt B hat an diesem Ende keinen Punkt

就 说明 B 最 左端 没有 元素 它 没有 最小 ||||left end||||| Das bedeutet, dass es am linken Ende von B kein Element gibt, es hat kein Minimum

这是 第一种 可能 叫 A 中有 最大 B 中 无 最小

我们 再 来看 第二种 可能 |||the second type|

第二种 可能 叫

A 中 无 最大 而 B 中有 最小

就 把 它 反过来 了 |||turned over|

那 显而易见 我 把 这个 等 号 挪 后面 就行了 对 吧 |||||||move||||

A 集合 是 小于 2 B 集合 是 大于 等于 2 就行了

在 图 上去 画 A 中 无 最大 所以 A 这 一端 没有 点

而 B 中有 最小 B 中是 这个 样子 |||||is||

好 这是 第二种 可能

第三种 可能 是 A 中 无 最大 B 中 也 无 最小 the third type|||||||||||

又 出现 了 这样 的 一种 可能

说 这 是 什么 情况

举个 例子 比如 我 让 A 集合 写成 一个 数 Zum Beispiel lasse ich die A-Menge als Zahl schreiben

这个 数是 有理数 |number|

并且 这个 数字 它 小于 0 或 这个 数字 的 平方 小于 2 und die Zahl ist kleiner als 0 oder das Quadrat der Zahl ist kleiner als 2

这是 A 集合

咱们 看 它 是 负数 就是 可以 的 它 负 的 有理数 是 可以 的 ||||negative number|||||negative||||| Mal sehen, ob es eine negative Zahl ist, es ist in Ordnung, es ist in Ordnung, wenn es eine negative rationale Zahl ist

它 如果 是 正 的 有理数 的话 它 的 平方 要 小于 2 Wenn es sich um eine positive rationale Zahl handelt, ist ihr Quadrat kleiner als 2

那 也就是说 其实 表示 的 是 A 小于 √2 对 吧

我们 再 来看 B B 我们 可以 把 它 写成 一个 集合

这个 集合 叫 {x|x 是 有理数 ,x>0 且 x^2>2} 好 那 实际上 它 表示 的 就是 x 大于 √2

咱们 来看 这 两个 集合

这个 集合 其实 就是 在 √2 那切 了 一刀 |||||that cut|| Dieser Satz ist eigentlich ein Schnitt bei √2

而 A 中 有没有 最大 元素 它 没有 |||||element||

为什么 因为 √2 它 不是 有理数 Warum, weil √2 keine rationale Zahl ist

A 和 B 都 是 有理数 的 一个 分割 对 吧 A und B sind beide eine Division rationaler Zahlen, richtig?

B 中 有没有 最小 元素 它 也 没有

因为 它 最小 的 元素 是 √2 但是 √2 它 不是 有理数

所以 这种 情况 下 我们 画图 就 两端 都 没有 点 |||||||both ends|||

可能 有 同学 说 还有 第四种 情况 |||||the fourth type|

什么 第四种 情况

就是 A 中有 最大 还有 B 中有 最小

有没有 这种 可能 呢

A 中有 最大 表示 这个 A 集合 它 有 一个点 |||||||||a point Das Größte in A zeigt an, dass diese A-Menge einen Punkt hat

最大 的 元素 我们 可以 设 它 为 a |||||assume|||

B 中有 最小 最小 元素 我们 可以 设 它 为 b

咱们 看 首先 a 和 b 能 不能 是 公共 元素 不能 Sehen wir uns zuerst an, ob a und b gemeinsame Elemente sein können.

因为 我们 刚才 说 了 A 交 B 是 空集 对 不 对 ||||||intersection|||empty set|||

所以 首先 我们 知道 了 a 不 等于 b |||||||equals|

既然 a 不 等于 b

根据 我们 刚才 所说 a 和 b 都 是 有理数 |||what we just said||||||

a 和 b 都 是 有理数 所以 (a+b)/2 怎么着 也 是 有理数 |||||||||what||| a und b sind beide rationale Zahlen, also ist (a+b)/2 auch eine rationale Zahl.

但是 (a+b)/2 这个 数它 既 不在 A 中 也 不在 B 中 ||||number it||||||||

这样一来 就 跟 A∪B 是 有理数 发生 了 什么 发生 了 矛盾 对 吧 In this case||||||||||||contradiction|| Das widerspricht dem, was passiert, wenn A∪B eine rationale Zahl ist, richtig?

矛盾 说明 什么 矛盾 就 说明 第四种 情况 其实 是 不 存在 的 Widerspruch zeigt, was Widerspruch bedeutet, dass die vierte Situation nicht existiert

你 不 可能 分割 的 时候 分割 成 这种 情况

于是 只有 前 三种 情况

前 三种 情况 中 第一 和 第二 两种 情况

切 一刀 端点 会 出现 有理数 对 不 对 ||endpoint||||||

而 第三种 情况 端点 没有 有理数 这 说明 什么

说明 这 一刀 把 正好 从 两个 有理数 中间 的 空隙 钻过去 了 ||||||||||gap|drilled through| Das bedeutet, dass das Messer gerade durch die Lücke zwischen den beiden rationalen Zahlen gebohrt hat. It means that this knife has just passed through the gap between the two rational numbers.

这 就 说明 有理数 其实 中间 是 有 空隙 的

谁 去 填补 这个 空隙 呢 ||fill|||

戴德金 说 我们 可以 定义 一种 数叫 无理数 ||||define||number called|irrational number Dedekind said that we can define a number called an irrational number

无理数 就是 有理数 的 什么 空隙

因此 它 通过 这种 办法 就 定义 了 无理数 了

戴德金 说 我 可以 通过 德金 分割 定义 全体 实数 |||||Dedekind|division|definition|the whole set|real numbers

我 擦 一下 黑板 |||the blackboard

那么 戴德金 就 说

我 通过 这种 分割 的 方法 就 可以 定义 实数 了 Ich kann reelle Zahlen durch diese Methode der Division definieren

也 就是 有理数 的 全体 分割

有理数 的 全体 分割 就 构成 了 实数 |||||is composed of|| Die ganze Teilung der rationalen Zahlen bildet die reellen Zahlen

我们 简单 解释一下 就是说 我们 把 有理数 进行 戴德金 分割 ||explain|||||||

有 可能 这个 分割 点 它 是 个 有理数 对 吧

也 有 可能 分割 点 不是 有理数

如果 分割 点 不是 有理数 我们 就 叫 它 无理数

现在 我 把 所有 的 分割 点 都 给 我加 起来 就 构成 了 实数 |||||||||I add||||| Jetzt addiere ich alle Teilungspunkte, um die reelle Zahl zu erhalten

每 一个 实数 其实 对应 的 是 一个 戴德金 分割 ||||corresponds to||||| Jede reelle Zahl entspricht tatsächlich einer Dedekind-Partition

那 我们 可以 想象 既然 有理数 它 是 有 空隙 的

我们 切 一刀 下去 有 可能 会切 不到 有理数 ||||||may cut|| Wenn wir es kürzen, sind wir möglicherweise nicht in der Lage, rationale Zahlen zu kürzen.

那 实数 有没有 空隙 它 是不是 连续 的 呢

戴德金 证明 了 这样 的 一个 定理 ||||||theorem

他 说 我们 可以 通过 推理 的 办法 得出 这样 一个 结论 |||||inference|||draw|||conclusion Er sagte, dass wir durch Argumentation zu einem solchen Schluss kommen können

如果 我们 对 实数 进行 分割 会 有 什么 结果

如果 我们 对 实数 进行 分割 的话

我们 这个 分割 点 就 只有 一和二 两种 情况 ||||||one and two||

你 对 实数 进行 分割 要不然 左边 的 这个 集合 A 含有 一个 端点 Sie dividieren die reellen Zahlen oder die Menge A links enthält einen Endpunkt

这个 端点 是 个 实数

要不然 这个 集合 B 含有 一个 端点 端点 是 实数 Andernfalls enthält diese Menge B einen Endpunkt, dessen Endpunkt eine reelle Zahl ist

不 可能 出现 第三种 情况

两端 这个 点 都 没有 最大值 和 最小值 这种 情况 这个 不 存在 |||||||minimum value|||||

这 就 说明 什么

说明 你 对 实数 的 轴 上切 一刀 一定 能够 切除 个 实数 来 ||||||cutting up||||cut off||| Das heißt, wenn Sie ein Messer auf der Achse der reellen Zahl schneiden, müssen Sie in der Lage sein, eine reelle Zahl abzuschneiden.

而 不会 切出 一个 其它 的 新 的 数字 来 ||cut out||other||||| ohne eine weitere neue Nummer auszuschneiden

因此 实数 是 什么

实数 是 完备 的

实数 是 完备 的 其实 也 可以 叫 连续 的 Reelle Zahlen sind vollständig, sie können auch stetig genannt werden.

但是 比较 好 的 说法 是 完备 的

于是 我们 也 就 知道 了 原来 这个 实数 是 一个 连 一个

把 这个 数轴 整个 填满 的 但是 有理数 并 不是 这个 样子 的 Füllen Sie den ganzen Zahlenstrahl aus, aber rationale Zahlen sind nicht so

那 这个 过程 就 叫做 实数 的 公理化

其实 实数 公理化 有 很 多种 方法

除了 这个 戴德金 的 这种 方法 以外

康托尔 和 这个 柯西 也 自己 有 自己 的 方法

但是 通过 数学 可以 证明 他们 之间 都 是 等价 的 |||||||||equivalent|

现在 我们 终于 可以 解释 我们 最 开始 要说 的 问题 了

就是 我们 要 证明 一件 事儿

0.999… 到底 等 不 等于 1 呢

我们 要 证明 这个 数它 确实 是 等于 1 的 Wir müssen beweisen, dass diese Zahl tatsächlich gleich 1 ist

我们 怎么 证明 我们 刚才 说 过

每 一个 戴德金 分割 对应 了 一个 实数 Jede Dedekind-Teilung entspricht einer reellen Zahl

这 两个 数都 是 实数 ||both numbers||real numbers Beide Zahlen sind reelle Zahlen

所以 它 一定 对应 了 有理数 的 戴德金 分割

我们 要 把 有理数 进行 分割 分割 有理数

把 有理数 可以 分割 成 什么

比如 分割 成 A 和 B 这 两个 集合

它 对应 的 是 第一个 数字 0.999… |corresponds|||| Sie entspricht der ersten Zahl 0,999…

我们 也 可以 把 它 进行 C 和 D 分割 ||||||C(1)|||

对应 了 第二个 数字 就是 1 Entsprechend der zweiten Zahl ist 1

那么 这个 A 和 B C 和 D 都 怎么 定 Wie werden A, BC und D bestimmt?

显而易见 我们 可以 定义 A 是 这样 的 一个 数 obvious|||define|||||| Offensichtlich können wir A als eine solche Zahl definieren

它 是 所有 的 数 这个 数是 一个 有理数 Es sind alle Zahlen, diese Zahl ist eine rationale Zahl

并且 这个 数它 小于 0.999… 这是 A |||less than||

B 我 就 不 写 自然 就是 大于 等于 对 吧 B Ich werde es nicht schreiben, natürlich ist es größer oder gleich, oder?

那么 C 我们 又 可以 定义 成 什么 Was können wir dann als C definieren?

定义 成 {x|x 是 有理数 ,x>1} 对 吧 Definiert als {x|x ist eine rationale Zahl, x>1} richtig? 我们 可以 这样 进行 戴德金 分割

这个 是 第一种 分割 的 第一个 集合 Dies ist der erste Satz der ersten Aufteilung

这是 第二种 分割 的 第一个 集合 Dies ist der erste Satz der zweiten Aufteilung

现在 我 想 证明 这 两个 数字 是 一个 数字

就是 要 证明 这 两种 分割 是 一样 的

我们 要 想 证明 这 两种 分割 是 一样 的

就要 证明 这 两个 集合 是 一样 的

我们 怎么 证明 这 两个 集合 是 一样 的 呢

我们 看 我们 要 证明 A 集合 是 完全 等于 C 集合 的 Mal sehen, dass wir beweisen müssen, dass die Menge A genau gleich der Menge C ist

怎么 证明

第一步 我们 在 集合 A 中取 一个 元素 Step 1|||||from A|| Im ersten Schritt nehmen wir ein Element aus Menge A In the first step we take an element in set A

这个 元素 它 是 集合 A 中 的 元素 |element|||||||

A 的 集合 是 每 一个 元素 都 小于 这个 数 ||||||||less than|| Die Menge von A ist, wo jedes Element kleiner als diese Zahl ist

所以 自然 这个 数 就 小于 0.999… 对 吧

不管 0.999… 是 到底 等于 1 还是 小于 1

t 现在 是 小于 0.999… 所以 t 一定 会 小于 1 对 不 对

t 小于 1 它 就 满足 哪个 定义 满足 第二个 定义 |||||which|||| t kleiner als 1 erfüllt, welche Definition die zweite Definition erfüllt

所以 t 是 集合 C 中 的 元素 Also ist t ein Element in der Menge C

好 了 我们 看

如果 t 是 A 中 的 元素 t 就 一定 是 C 中 的 元素 Wenn t ein Element in A ist, muss t ein Element in C sein

就 说明 A 中 所有 元素 都 是 C 中 的 元素 Das bedeutet, dass alle Elemente in A Elemente in C sind

因此 A 是 C 的 子集 |||||subset

我们 再 反过来 看

如果 有 一个 元素 它 是 C 中 的 元素

也就是说 这个 数它 是 小于 1 的

我 现在 要 证明 它 也 一定 会 小于 0.999…

我们 怎么 证明 这件 事 不要 忘 了 t 是 个 什么 数 有理数 对 不 对

所以 t 可以 写成 p 和 q 的 除法 的 形式 p 和 q 都 是 整数 ||||||||division||form|||||| Also kann t in Form der Division von p und q geschrieben werden, wobei p und q beide ganze Zahlen sind

这个 数它 小于 1 从此 我们 就 可以 看出 这个 p 它 是 小于 q 的 Diese Zahl ist kleiner als 1. Daraus können wir erkennen, dass p kleiner als q ist

两个 整数 而且 p 小于 q

于是 我们 又 可以 把 这个 数字 进行 变形 ||||||||transformation Wir können diese Zahl also transformieren

叫做 1-t=1-p/q

通 分 等于 (q-p)/q 我们 知道 q 比 p 大 对 不 对 equal|||||||||||||| Der Pass ist gleich (qp)/q Wir wissen, dass q größer als p ist, oder? The score is equal to (qp)/q. We know that q is greater than p, right?

所以 q-p 比 1 大

大于 等于 1/q 对 不 对 Größer oder gleich 1/q richtig?

好 不管 这个 q 是 什么

我们 知道 总能 找到 这么 一个 自然数 n ||always can||||natural number|

使得 10^n 这个 数 肯定 可以 比 q 大 ensures||||||||

我 总能 找到 这样 一个 数 不管 你 这个 q 有 多 大 对 不 对 Ich kann immer eine solche Zahl finden, egal wie groß dein q ist, richtig?

所以 我们 就 可以 找到 一个 数 1/10^n Wir können also eine Zahl 1/10^n finden

它 是 小于 1/q 我们 把 这 两个 结合 一下 ||||||||combine|

也就是说 我 一定 能 找到 一个 自然数 n Das heißt, ich muss in der Lage sein, eine natürliche Zahl n zu finden

使得 1-t>1/10^n 所以 t 就 会 小于 1-1/10^n

1-1/10^n 得 几 得 0.999…9 几个 9 1-1/10^n ist 0,999…9 ist 9

n 个 9 对 不 对 小于 这个 数 n 9 Paare sind kleiner als diese Zahl

而 这个 数 只有 n 个 9 0.999… 它 是 无限 多个 9 ||||||||infinite| Und diese Zahl ist nur n 9s 0,999 ... es ist eine unendliche Anzahl von 9s

所以 它 小于 0.999… Also weniger als 0,999...

于是 得出结论 t 其实 也 是 A 中 的 元素 |conclude|||||||| Daraus folgt, dass t tatsächlich ein Element in A ist

如果 t 是 C 中 的 元素 t 就 一定 是 A 中 的 元素 Wenn t ein Element in C ist, muss t ein Element in A sein

所以 说 C 是 A 的 子集 A 是 C 的 子集 C 又 是 A 的 子集 Also ist C eine Teilmenge von A A ist eine Teilmenge von C C ist eine Teilmenge von A

因此 怎么样 A 等于 C 得证 |||||proven Wie beweist A gleich C das?

也就是说 这 两种 分割 是 完全 一样 的

每 一种 分割 对应 了 一个 数 Jede Teilung entspricht einer Zahl

两个 分割 一样 说明 这 两个 数 一样

所以 这个 式子 得证 多么 漂亮 的 证明 ||theorem||how||| Was für ein schöner Beweis also diese Formel beweist

也许 有人 会 说 明明 是 一个 非常简单 的 数学 问题 ||||Mingming|||very simple||| Vielleicht erklärt jemand, dass Ming eine sehr einfache mathematische Aufgabe ist

你 怎么 搞 的 这么 复杂 在 这里 我 必须 发表 一下 我 的 看法 ||do||||||||express|||| Wie bist du hier so kompliziert geworden, ich muss meine Meinung äußern

古希腊 有 许多 的 先贤 智者 Ancient Greece||||ancient sages|wise men Das antike Griechenland hatte viele Weise und weise Männer

他们 会 讨论 比如说 阿基里 斯能 不能 追 上 乌龟 ||||Achilles|Achilles can||||the tortoise Sie werden zum Beispiel diskutieren, kann Achilles die Schildkröte einholen?

√2 到底 是不是 数 这样 看起来 毫无意义 的 问题 |||||completely meaningless|| √2 Ist es wirklich eine bedeutungslose Frage wie Zählen?

他们 认识 到 有 的 时候 经验 并 不是 真实 的 ||||||experience|||real| Sie erkennen, dass die Erfahrung manchmal nicht real ist

而 推理 和 证明 更加 可靠 这是 一种 思想 上 的 革命 |||||reliable|||idea|||revolution Und Argumentation und Beweise sind zuverlässiger.Das ist eine Revolution im Denken.

在 这种 思想 的 影响 下 欧几里得 写成 了 《 几何 原本 》 ||||||||||Elements Unter dem Einfluss dieser Idee schrieb Euklid „Elements of Geometry“

从 几个 公设 出发 演绎出 整个 几何学 大厦 ||axiom||deduce||geometry|edifice Leiten Sie das gesamte geometrische Gebäude aus mehreren Postulaten ab

而 亚里士多德 又 建立 了 自己 的 逻辑 体系 |Aristotle||established||||logic|system Und Aristoteles etablierte sein eigenes logisches System

他们 都 是 古希腊 先贤 的 优秀 代表 ||||||excellent|representatives Sie alle sind hervorragende Vertreter der alten griechischen Weisen

这种 思想 在 文艺复兴 之后 的 欧洲 繁荣 起来 |||Renaissance||||prospered| Diese Idee blühte im Europa der Nachrenaissance auf

也 使得 欧洲 成为 近代 科学 的 中心 |made|||modern||| Es machte Europa auch zum Zentrum der modernen Wissenschaft

有时候 科学家 们 研究 数学 科学 和 哲学 Sometimes|||||||philosophy

并 不是 因为 它们 是 有用 的 或者 它们 能 带来 名誉 财富 和 地位 |||||useful||||||reputation|wealth||status

而 仅仅 是因为 它们 是 有趣 的 |only||||interesting|

它们 可以 使 我们 更加 认识 这个 世界 Sie können uns helfen, die Welt besser kennenzulernen

使 我们 更加 接近 真理 ||||the truth bringt uns der Wahrheit näher

科学家 们 有时候 很 像是 登山者 ||||like|mountaineers Wissenschaftler sind manchmal wie Kletterer

有人 问 第一个 从 北坡 攀登 珠穆朗玛峰 的 登山者 乔治 · 马洛 里 ||||North Ridge|climbing|Mount Everest|||George Mallory|George Mallory| Jemand fragte George Mallory, den ersten Bergsteiger, der den Mount Everest vom Nordhang aus bestieg

你 为什么 要 攀登 珠穆朗玛峰 呢

马德里 说 因为 它 就 在 那里 Madrid||||||

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