如何 手算 开平方 ？学会 这个 你 又 能 跟 小伙伴 炫耀 了！ How to hand calculate the open square? Learn this you can show off with your buddies again! ¿Cómo calcular la raíz cuadrada a mano? ¡Después de aprender esto, puedes presumir ante tus amigos nuevamente!

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 Hola a todos, soy el profesor Li Yongle. 现在 放假 了 我换 了 个 地方 给 大家 讲课 今天 我 尝试 着 使用 这块 电子白板 给 大家 讲 一节课 最近 有个 小朋友 跟 我 说 他 在 工作 当中 经常 会 遇到 求 一个 数 的 平方根 但是 有 的 时候 手边 没有 计算器 就 很 麻烦 他 想 问 我 有没有 什么 方法 能够 快速 地 计算 出 一个 数 的 平方根 呢 今天 就 给 大家 介绍 两种 手 算求 平方根 的 方法 我们 首先 先 来 介绍 第一种 方法 第一种 方法 我们 称之为 连分数 法 什么 叫 连分数 法 呢 也就是说 如果 我们 想求 一个 数 它 的 平方根 就 √s 是 吧 我 先 把 这个 s 我 写成 一个 完全 平方 数 再 加上 一个 比较 小 的 部分 这样 的 形式 其中 这个 a² 它 远远 大于 b 让 a 尽量 大 b 尽量 小 是 吧 这样一来 我们 就 可以 计算 了 公式 是 这样 的 √s 它 等于 a 加上 一个 大 横线 b 除以 2a 加上 一个 大 横线 b 除以 2a 加上 一个 大 横线 b 除以 2a 加上 ... 那么 这个 公式 就是 手算 平方根 的 一个 很 方便 的 公式 了 是 吧 A very convenient formula for calculating square roots by hand, right? 你 只要 能 把 这个 数字 它 写成 a²+b 的 形式 然后 把 a 和 b 代入 到 这个 公式 里 就行了 这 公式 有 无数 多层 但是 你 不 需 要求 无数 多层 你求 的 层数 越多 就 越 接近 于 这个 数 的 平方根 我们 来举 一个 例子 比如说 我们 想求 150 的 平方根 求 √150 那 我 先 把 150 写成 一个 数 的 平方 再 加 一个 数 的 形式 150 等于 多少 呢 我 可以 把 它 写成 144 再加 6 144 是 12 的 平方 对 吧 所以 就是 12²+6 这样 写 比较 好 因为 最后 这个 余项 6 比较 小 你 当然 也 可以 写成 100+50 100=10² 但 那么 写 的话 它 收敛 起来 会 比较慢 好 我们 写成 这个 样子 写 完 了 之后 下 一步 要 干什么 呢 我们 首先 想 如果 我们 代入 公式 的 时候 取 0 层 什么 叫 0 层 呢 就是说 我 后面 这些 全都 不取 我 就 取 前面 这 第一项 那 这样的话 我们 就 说 √150 它 是 约等于 12 是 吧 约等于 12 这 就 比较 粗糙 了 如果 我们 取 1 层 呢 取 1 层 这个 √150 它 就 应该 约等于 12+b/(2a) b 是 多少 b 是 6 2a 就是 24 这个 数 等于 12.25 对 吧 好 这个 数 就 比较 接近 于 √150 了 如果 我们 要是 取 两层 呢 取 两层 的话 √150 它 就 等于 12 加上 加 什么 加上 6/(24+6/24) 这 就 叫 两层 对 吧 代 进去 之后 最后 的 这个 结果 是 12.2474226 好 那么 如果 我们 真的 用 计算器 把 √150 摁 出来 √150 究竟 等于 多少 呢 它 实际上 的 值 √150 它 是 等于 12.2474487... 你 会 发现 我们 取 了 两层 之后 它 就 已经 非常 接近 了 小数点 后前 4 位 都 是 一样 的 对 不 对 如果 我们 取 一层 的话 呢 小数点 后 第一位 一样 第二位 差 了 一点 如果 我们 取 0 层 的话 呢 从 小数点 后 第一位 开始 就 不 一样 所以 我们 就 说 取 的 层数 越 多 你 就 越 接近 真实 的 √150 怎么样 这种 方法 是不是 很快 那么 这种 方法 的 原因 是 什么 呢 咱们 下 一步 来 证明 一下 首先 我们 把 它 圈选 起来 然后 放到 一个 比较 小 的 范围 里 证明 这个 式子 其实 并 不 复杂 怎么 证 呢 我们 假设 s 是 可以 写成 a²+b 的 然后 我们 就 移个 项 s-a² 是不是 等于 b 平方差 公式 我们 就 有 (√s+a)(√s-a) 它 是不是 就 等于 b 我们 把 √s+a 移项 到 右边 来 就 变成 了 √s-a 等于 b/(√s+a) 我们 再 把 这个 -a 挪到 等 号 右边 去 是 不 变成 了 √s 等于 a+b/(a+√s) 对 吧 好 我们 看 √s 在 哪 呢 首先 在 右下角 有 一个 √s 但 其次 这个 整体 它 也 是 √s 对 不 对 所以 我们 可以 把 整体 代入 到 它 的 部分 里面 去 类似 于 计算机 中 的 递归 把 一个 整体 带到 里边 去 我 在 这个 函数 里边 还 调用 了 自己 那么 递归 之后 会 有 什么 结果 呢 咱们 看 √s 就 等于 a 加上 然后 b 除以 a 加上 √s 把 这 √s 用 这个 大 的 框去 代替 对 不 对 那 就是 a+b/(a+√s) 大家 注意 看 就是 这个 框 它 其实 就是 刚才 的 这个 √s 我 把 它 换 了 其它 部位 都 是 一模一样 的 是不是 好 那么 把 它 整理 一下 你 就 会 发现 这个 结果 它 就 变成 了 a+b/(2a+b/(a+√s)) 现在 你 这里 边 还有 一个 √s 那 我 是不是 还 可以 用 刚才 的 这个 数 往 √s 里边 代 我 一次 又 一次 的 代入 除了 第一项 它 是 一个 a 以外 剩下 的 这些 项 都 是 2a 就是 a+b/(2a+b/(2a+b/...) ) 这么 一直 下去 于是 就 回到 了 最 开始 我们 所 解释 的 这个 式子 了 所以 这个 公式 证明 起来 其实 也 没有 那么 的 复杂 好 我们 把 它 也 缩小 一下 第一种 方法 给 大家 介绍 完 了 之后 我们 再 来说 第二种 方法 如果 你 不想 用 这种 一次 一次 迭代 的 方法 我们 还有 一种 方法 我们 就是 可以 利用 长 除法 跟 除法 差不多 长 除法 的 这种 方法 来求 平方根 它 有 这么 几个 步骤 分段 然后 试根 然后 求 余项 分段 试根 求 余项 这样 的 一个 方法 我们 举个 例子 比如说 我们 想求 一个 数 这个 数 叫做 1234 我 问 它 的 平方根 是 多少 怎么办 呢 我 写 一个 类似 于 这种 除 号 的 这种 符号 写 完 了 之后 我们 首先 分段 所谓 分段 是 以 小数点 为 基准 向 左向右 两位 一段 The so-called segmentation is based on the decimal point, two paragraphs from left to right 两位 一段 34 一段 12 一段 再往 左不分 了 没有 数 了 往右 也 是 00 一段 再 逗号 00 一段 然后 你 还 可以 继续 往下 写 然后 我们 要求 它 的 平方根 这个 根 每 两位 求 一个 12 上面 求 一个 根 34 上面 求 一个 根 00 上面 求 一个 根 00 上面 求 一个 根 然后 这个 根 的 小数点 的 部位 它 其实 是 不变 的 还 在 这 至于 这个 根 怎么 求 那么 下 一项 就要 试根 比如说 我们 先看 第一段 第一段 这个 数字 是 12 12 是不是 一个 数 的 完全 平方 数 呢 它 不是 那 于是 我们 就 找 一个 比 12 小 而且 最 接近 12 的 完全 平方 数 比 12 小且 最 接近 12 的 完全 平方 数是 几 是 9 对 吧 9 的 平方根 是 3 我 在 这里 要 写 两个 数字 这 两个 数字 必须 是 一样 的 而且 乘起来 就是 比 12 小 的 那个 完全 平方 数 是 9 所以 我 这里 写 3 这 也 写 3 3 3 得 9 我们 第一步 就 做 完 了 12-9 应该 是 余 3 写 完 了 余 3 之后 我 把 这 34 我 落下来 落下来 然后 我 开始 求 第二个 根 求 第二个 根 的 时候 方法 就 比较 奇怪 了 大家 注意 看 我 需要 在 原来 已经 求 出 这个 根 的 基础 上 我 做 一个 事 我 把 它 乘 20 3 的 20 倍 是 几 是 60 我 在 这里 写个 6 但是 那个 10 不要 写 在 这画 一个 方框 我 就 像 刚才 一样 这个 方框 里边 的 数字 必须 和 这个 第二位 的 根是 一个 数字 就是 六十 几 乘以 几 它 能够 不比 334 大 而且 最 接近 334 我 再说 一遍 就是 六十 几 乘以 几 这 俩 “ 几 ” 得 是 一样 的 它 应该 是 比 334 小 而且 还 最 接近 334 咱们 算算 65×5 行不行 65×5 好像 是 可以 吧 这个 地方 是 5 这个 地方 也 是 5 65×5 那 应该 是 325 正好 334-325 还 剩下 9 这 就是 余项 继续 更新 余项 900 然后 干什么 知道 吧 然后 我们 继续 把 35×20 35×20 得 多少 35×20 得 700 写个 70 最后 一位 不要 写 等 着 让 这 一位 和 这 一位 一样 而且 乘 完 了 之后 它 应该 比 900 小 而且 能够 最 接近 900 这数 填 几 最 多 只能 填 1 对 吗 你 填 2 都 超 了 900 了 所以 这个 数 701 好 继续 作差 900-701 是 199 再落 两个 零 下来 19900 19900 下 一步 干什么 把 351×20 乘 完 了 20 之后 应该 是 702 本来 要加 一位 0 的 我们 不 加 加 一个 框 这个 框 必须 和 这个 框 的 数字 是 一样 的 而且 乘起来 之后 还 得 比 19900 小 填几 填 1 可以 填 2 可以 填 3 就 不行 了 所以 这个 地方 我们 应该 填 2 验证 一下 是 14044 对 吧 再往 下 继续 求 余项 好 现在 我们 其实 就 已经 把 这个 根号 下 1234 它 的 四位数 有效数字 都 写 出来 了 就是 35.12 你 还 可以 继续 按照 这个 法则 去 写 不停 地写 最后 就 能算得 越来越 精确 了 实际上 你 用 计算器 去 按 你 会 发现 根号 下 1234 确实 是 35.12 什么 什么 什么 对 吧 这种 方法 它长 得 非常 奇怪 那 我 就 想 问 了 说 为什么 使用 这种 方法 是 合理 的 呢 下面 咱们 也 对 这种 方法 进行 一下 证明 我们 对 这种 方法 进行 一下 证明 怎么 证明 呢 我们 看 假如 √s 它 可以 写成 ab 加个 横线 的 形式 什么 叫 ab 加 横线 呢 就是 个位 是 b 这个 数字 十位 是 a 这个 数字 是 吧 它 可以 写成 10a+b 假如 这 √s 可以 写成 这种 样子 的话 那么 我们 可以 把 它 平方 那 s 就 应该 等于 (10a+b)² 它 应该 等于 100a²+20ab+b² 对 吧 应该 写成 这个 样子 现在 我们 做个 移项 就 变成 了 s-100a² 它 应该 等于 20ab+b² 我们 把 右边 的 这个 b 提出 来 就 变成 了 s-100a² 它 应该 等于 20a+b 然后 再 乘个 b 写成 这个 样子 大家 来看 100a² 的 意思 就是 在 a² 上面 加 两个 0 所以 这 就 意味着 它 是 两位 一段 s-100a² 这 一项 其实 就是 什么 就是 我们 刚才 反复 在 求 的 余项 这个 余项 它 应该 等于 什么 呢 它 应该 等于 你 之前 已经 求 出来 的 那个 近似 根 怎么着 乘 20 乘 完 了 20 之后 加 什么 加 一个 数字 而且 加完 了 之后 把 这个 数字 还 得 再 乘 一个 数字 如果 这两项 正好 相等 那 就 说明 你 这个 开 根号 已经 开完 了 那 如果 要是 不 相等 呢 如果 不 相等 就 继续 求 余项 然后 利用 这种 方法 反复 地去 求 这 不 就是 刚才 我们 一直 在 使用 的 方法 那么 这样一来 这种 方法 就 证明 完毕 了 怎么样 给 大家 介绍 这 两种 方法 大家 学会 了 吗 大家 如果 喜欢 我 的 视频 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 里 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息