香蕉皮 能展 成 平面 吗 ？微分 几何 之 高斯 绝妙 定理 Can a banana peel be spread into a plane? Gauss' Excellent Theorem of Differential Geometry

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 有 一个 新闻 刷 爆 的 互联网 说 是 中科大 26 岁 的 特 任教授 陈杲 在 复 微分 几何 领域 攻克 的 一个 世界 难题 A world problem solved in the field of complex differential geometry 有 小朋友 就 问 我 说 这 微分 几何 到底 是 怎样 的 一门 学科 呢 陈杲 教授 的 成果 又 是 什么 呢 微分 几何 起源于 数学家 对于 曲线 和 曲面 的 研究 Originated from the study of curves and surfaces by mathematicians 如今 已经 成为 广义 相对论 的 基础 与 拓扑学 和 理论物理 密切相关 学过 微分 几何 的 小伙伴 都 知道 这门 学科 特别 的 复杂 普通人 很难 理解 它 的 全貌 那 今天 我们 就 来 选 一个 微分 几何 中 相对 比较 容易 理解 的 概念 高斯 绝妙 定理 来 给 大家 体会 一下 Gauss's wonderful theorem for everyone to experience 微分 几何 的 魅力 为了 理解 高斯 绝妙 定理 我们 首先 先 来 了解 一个 平面几何 的 问题 叫做 曲率 还有 曲率 半径 曲率 和 曲率 半径 什么 意思 我们 都 知道 圆有 半径 那么 一个 曲线 有 半径 吗 我们 来看 这是 一个 随便 画 的 一条 曲线 那么 这 条 曲线 它 不同 的 地方 弯曲 程度 是 不 一样 的 我们 就 想 比较 比如说 这个 点 A 这个 点 B 这个 点 C 它 的 弯曲 的 程度 是 吧 怎么 比较 呢 人们 就 想了个 方法 我 可以 用 一个 圆去 贴近 这个 曲线 如果 在 一个 很小 的 范围 内 这个 圆 可以 和 曲线 密接 密接 This circle can be tightly connected to the curve 这个 地方 也 是 圆 和 曲线 的 密接 This place is also close to the circle and the curve 这个 地方 也 是 圆 和 曲线 可以 密接 那么 这样 的 圆 我们 就 管 它 叫 曲线 这个 点 的 曲率 圆 曲率 圆 Circle of curvature 就是 在 一个点 可以 和 一个 平滑 曲线 密接 的 圆 数学 上 可以 证明 一个 平滑 曲线 上 某 一个点 的 曲率 圆是 唯一 的 曲率 圆 它 不是 有个 半径 吗 曲率 圆 的 半径 我们 就 管 它 叫 曲率 半径 我们 用 字母 ρ 来 表示 这 叫 曲率 半径 对 吧 曲率 半径 我们 再 取个 倒数 就 叫做 曲率 曲率 k 它 就 等于 曲率 半径 的 倒数 有 了 曲率 和 曲率 半径 我们 就 可以 比较 不同 的 点 它 的 弯折 程度 了 咱们 来看 相比 来讲 这个 A 点 还是 平坦 一些 对 吧 这个 C 点 是 最 弯曲 的 你 观察 一下 A 点 的 曲率 半径 怎么着 A 点 的 曲率 圆 最大 所以 A 点 的 曲率 半径 最大 对 不 对 曲率 半径 最大 的 时候 它 的 曲率 是不是 就 最小 所以 曲率 半径 大 的 点 曲率 就 小 这样 的 点 我们 就 叫 它 平坦 或者 叫 平缓 它 就 不 太 弯曲 对 吧 你 再 看 C C 它 曲率 圆 特别 小 它 曲率 半径 特别 小 曲率 半径 特别 小 的话 它 的 曲率 就 比较 大 对 吧 这样 的 点 就是 特别 的 弯曲 的 所以 我们 就 记住 了 凡是 曲率 小 的 它 就 平坦 曲率 大 的 它 就 弯曲 对 不 对 我们 来看 一下 直线 的 曲率 半径 是 多 大 你 用 一个 圆去 给 我 贴合 直线 你 说 多 大 的 圆能 跟 直线 完全 贴 上 是不是 得 无限大 的 圆 所以 直线 它 的 曲率 半径 其实 是 无穷的 直线 的 曲率 半径 是 无穷大 那么 直线 的 曲率 是 多少 直线 的 曲率 是 1/ρ 是 不 就是 0 对 不 对 我们 要 记住 了 直线 的 曲率 是 0 因为 它 最 平坦 是不是 不仅如此 数学家 们 还 定义 了 这个 曲率 的 正负 Mathematicians also defined the sign of this curvature 比如说 我们 定义 说 这个 曲线 向上 弯 曲率 是 负 的 向下 弯曲 率 是 正 的 那 你 看 A 这个 点 A 这个 点 它 的 这个 弯折 程度 是 往 下 弯 的 所以 我们 叫 它 曲率 是 正 的 B 这个 点 它 往 上 弯 对 吧 我们 管它 叫 k 是 负 的 C 这个 点 又 往 下 弯 我们 又 说 k 是 正 的 那么 你 这 是 一个 平滑 曲线 你 的 曲率 能够 从 正变 到 负 你 中间 一定 有 那么 一个点 是 0 也就是说 这 一点 它 是 一小 段 什么 线 直线 对 不 对 同样 道理 从 这个 点 k 是 负 的 变成 这个 点 k 是 正 的 中间 有 一个点 k 应该 是 0 这 就是 曲率 的 正负 的 变化 好 我们 现在 已经 知道 了 曲率 有大 有 小 有 正 有负 对 不 对 下面 我们 要 升级 了 从 曲线 升级 到 曲面 我们 要 研究 一下 主 曲率 的 概念 什么 叫主 曲率 呢 我们 首先 来看 这样 一个 香蕉 我们 知道 这 香蕉 的 表面 它 实际上 是 一个 曲面 比如说 这个 点 吧 你 沿 不同 方向 看 它 弯折 程度 不 一样 你 要 是从 这个 方向 看 它 是 有点 弯 但是 你 要 从 这个 方向 看 它 叫 特别 弯 对 不 对 所以 这个 方向 和 这个 方向 它 是 具有 不同 的 曲率 的 我们 再 来看 它 的 内侧 内侧 就 更 搞笑 了 你 在 这个 方向 它 有点 弯 而且 往 这边 弯 你 要是 在 这个 方向 它 很 弯 而且 往 这边 弯 它 不仅仅 是 弯折 的 程度 不 一样 它 连 弯折 的 方向 都 是 相反 的 对 不 对 好 我们 知道 了 一个 物体 沿 不同 方向 会 有 不同 的 曲率 我们 再来 画 一个 图 比如说 这有 一个 烟囱 这个 烟囱 腰里系 两边 粗 是 吧 The waist of this chimney is thick on both sides, right? 这是 一个 这样 的 一个 烟囱 好 那 现在 如果 我们 要是 横着 切 一刀 的话 我们 会 切出 一个 圆 它 是 往 这边 弯 的 你 如果 竖 着 切 一刀 它会 切出 这样 一个 边来 对 不 对 它 是 往左边 弯 的 跟 香蕉 的 内侧 是 有点像 的 所以 在 1760 年 的 时候 微分 几何 有 一个 奠基者 名字 叫 欧拉 欧拉 我们 已经 不 知道 提了 多少次 了 是 吧 著名 的 数学家 欧拉 欧拉 就 提出 了 这样 一个 理论 他 就 说 我们 可以 用 不同 的 平面 去 切割 这个 曲面 切割 它 切割 它 的 时候 沿 不同 方向 的 曲率 是 有大有小 的 那么 在 曲率 最大 那个 方向 还有 曲率 最小 的 这个 方向 我们 称之为 主 曲率 这 两个 方向 我们 就 管 它 叫 主 方向 这 两个 平面 我们 就 管 它 叫 主平面 主平面 就是 在 切割 这个 点 的 时候 那些 平面 里面 能造 出 最大 曲率 和 最小 曲率 的 那 两个 平面 是 吧 这 就 叫 主平面 然后 欧拉 通过 数学方法 证明 了 这样 一个 结论 就是 两个 主平面 为什么 两个 主平面 一个 k 最大 一个 k 最小 两个 主平面 之间 一定 是 怎么样 呢 一定 是 互相 垂直 的 这个 是 在 1760 年 的 时候 由 欧拉 证明 的 我们 举个 例子 比如 你 看 这 烟囱 这 烟囱 它 横 着 是 一个 主平面 它 的 曲率 是 往 这边 最大 的 然后 竖 着 切 又 是 一个 主平面 它 是 这个 曲率 往 那边 最大 它 俩 之间 是 互相 垂直 的 一个 横着 切 的 面 一个 竖 着 切 的 面 你 再 来看 这个 香蕉 这个 香蕉 它 在 这个 点 这是 一个 主平面 这 又 是 一个 主平面 它们 俩 也 是 互相 垂直 的 对 吧 好 那 主平面 之间 一定 是 互相 垂直 的 我们 再 来看 如果 是 一个 平面 平面 就是 它 不是 曲面 了 平面 上 的 每 一个点 它 的 主 方向 和 主平面 情况 又 如何 呢 我 在 这里 画 一个 平面 你 会 发现 不管 你 用 什么样 的 面去 切割 这个 平面 这个 平面 它 都 是 切出来 直线 你 怎么 切 它 都 是 直线 所以 对于 平面 来讲 它 的 主 曲率 是 多少 呢 不管 是 最大 的 曲率 还是 最小 的 曲率 都 是 0 对 不 对 对于 平面 来讲 它 的 主 方向 是 任意 方向 然后 它 的 主 曲率 都 是 0 好 那么 主 曲率 这个 概念 我们 也 说完 了 那 下面 我们 就 可以 来 介绍 高斯 绝妙 定理 了 高斯 绝妙 定理 它 为什么 起 的 名字 这么 奇怪 呢 什么 叫 高斯 绝妙 定理 呢 我们 知道 一条 直线 它 是 可以 画 在 一个 平面 里 的 当然 你 在 这个 平面 里 你 这个 直线 也 是 可以 弯 的 你 可以 让 这个 直线 弯成 这个 样子 对 不 对 但是 你 在 弯折 的 过程 之中 这个 直线 的 长度 是 可以 不变 的 你 好像 把 一条线 在 平面 上 弯 一下 这个 线 的 长度 它 是 不变 的 我们 可以 进而 让 这个 面 也 弯起来 就是 这个 面 上面 有 一条 直线 但是 这个 面它 本身 弯 了 对 不 对 面 本身 弯 了 之后 呢 你 会 发现 这 条 直线 上 每个 点 的 曲率 就 不 一样 了 原来 是 直线 每个 点 曲率 都 是 0 你 弯 了 之后 这个 曲率 就 不是 0 了 对 不 对 但是 这个 线段 它 的 长度 依然 是 不变 的 对 不 对 那 我们 就 说 呀 这个 长度 怎么着 它 的 长度 实际上 是 与 是 与 这个 曲面 它 弯曲 的 程度 是 与 这个 曲面 弯曲 的 程度 无关 的 不管 你 这个 曲面 怎么 弯 反正 这个 直线 的 长度 都 是 不变 的 这个 长度 与 弯曲 的 程度 无关 那 这样 的 量 我们 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量 很 显然 长度 是 个 内蕴 量 长度 它 与 这个 曲面 在 空间 中 的 弯曲 程度 没有 关系 如果 其它 的 量 也 能够 与 弯曲 的 程度 没有 关系 的 那 我们 也 给 它 起个 名字 叫 内蕴 量 在 1827 年 的 时候 另外 一个 微分 几何 的 奠基者 那 就是 高斯 数学 王子 高斯 史上 最 伟大 的 这个 数学家 高斯 他 就 发现 了 另外 一个 内蕴 量 他 说 我们 可以 定义 高斯曲率 什么 叫 高斯曲率 呢 欧拉 不是 已经 说 了 吗 在 一个 曲面 上 的 点 上 有主 曲率 一个 曲率 最大 一个 曲率 最小 叫主 曲率 我们 把 两个 主 曲率 乘起来 这个 就 叫做 高斯曲率 他 发现 在 等 长 变换 下 He found that under the isometric transformation 什么 叫 等 长 变换 呢 就是 在 这个 变换 的 过程 之中 它 的 这个 线段 的 长度 是 不会 变化 的 其实 就 类似 于 这 曲面 发生 了 弯曲 在 等 长 变换 下 这个 高斯曲率 是 保持 不变 的 高斯曲率 保持 不变 的 意思 就是说 当 你 这个 面弯 了 之后 你主 曲率 会 发生变化 比如说 一个 平面 本来 主 曲率 都 是 0 你 这么 一弯 它主 曲率 就 不是 0 了 但是 高斯曲率 也 就是 把 两个 主 曲率 乘起来 它 应该 是 保持 不变 的 高斯 就 发现 了 这 高斯曲率 是 个 内蕴 量 这句 话 我们 好好 解释一下 比如 大家 看 我 这里 有 一个 比萨 比萨 它 实际上 一块 是 个 平面 吗 对 不 对 因此 它 每个 地方 的 高斯曲率 都 是 多少 刚才 说 过 了 是 0 对 不 对 那 我们 吃 比萨 的 时候 如果说 这个 比萨 比较 长 它 就 会 弯 过来 对 不 对 它 一弯 咱们 看 这个 点 沿 这个 方向 上 它 的 主 曲率 已经 不是 0 了 但是 沿 这个 方向 还是 一条 直线 所以 说 它 的 高斯曲率 是 等于 一个 不是 0 的 数 乘以 0 还是 0 保持 不变 我们 吃 比萨 的 时候 也 可以 这样 吃 让 它 这样 折 一下 如果 你 要是 这样 折 的话 你 会 发现 沿着 这个 方向 它 已经 凹 进去 了 这个 主 曲率 不是 0 但是 沿 这个 方向 它 还是 一条 直线 所以 主 曲率 还是 0 这样一来 的话 高斯曲率 依然 是 保持 不变 的 对 不 对 说完 了 比萨 咱们 再 来说 一说 薯片 一般 的 薯片 都 是 这种 马鞍形 的 所以 我们 来看 薯片 的 正 中央 这个 部位 如果 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的 如果 要 沿 这个 方向 去 看 它 是 向 这边 弯 的 所以 这个 点 它 的 高斯曲率 不是 0 是 一正一负 乘起来 之后 应该 是 个 负 的 虽然 说 这个 薯片 看起来 好像 没有 办法 弯 因为 你 一弯 它 就 碎 了 但是 很多 数学 上 的 这个 曲面 它 是 具有 无限 韧性 的 两个 看起来 完全 不 一样 的 曲面 它 有 可能 是 经过 弯折 得 出来 的 比如说 像 这个 悬链 面 和 螺旋面 For example, like this catenary surface and spiral surface 它们 之间 其实 就是 等 长 变换 的 那 如果说 我们 可以 把 这个 薯片 进行 这个 弯折 的话 那么 弯折 了 之后 你 会 发现 它 两个 主 曲率 都 变 了 但 它 的 乘积 这个 高斯曲率 它 是 不会 发生变化 的 也许 高斯 当年 发现 了 这件 事 之后 觉得 这个 定理 特别 的 神奇 于是 就 给 它 起 了 个 名字 叫做 高斯 绝妙 定理 多 说 一句 在 这个 高斯 和 欧拉 那个 时代 人们 研究 微分 几何 还是 古典 的 微分 几何 古典 的 微分 几何 Classical differential geometry 后来 这个 高斯 有 一个 非常 优秀 的 学生 那 就是 黎曼 黎曼 又 把 这个 古典 微分 几何 进行 了 推广 就 创造 了 一种 几何 叫做 黎曼 几何 以前 我们 也 谈到 过 黎曼 这个 人 那么 爱因斯坦 在 创立 广义 相对论 的 过程 之中 就 受困 于 数学 Stuck in mathematics 觉得 好像 这个 空间 一旦 弯曲 了 用 欧几里得 几何 解释 不了 了 于是 就 求助于 他 的 同学 数学家 格罗斯曼 而 格罗斯曼 就 把 这个 黎曼 几何 介绍 给 爱因斯坦 了 然后 爱因斯坦 一看 这个 黎曼 几何 真 好 于是 爱因斯坦 就 用 黎曼 几何 创立 了 广义 相对论 而且 爱因斯坦 还 慨叹 没想到 宇宙 的 真理 居然 是 隐藏 在 数学 当中 的 这个 数学 就 指 的 是 这个 黎曼 几何 那么 这个 高斯 绝妙 定理 到底 有 什么 用 呢 我们 来 介绍 一个 应用 比如说 我们 可以 研究 一下 说 哪 一个 曲面 是 可展 曲面 Which surface is a developable surface 这个 其实 在 我们 的 生活 当中 还是 挺 有 意义 的 什么 叫 可展 曲面 呢 就是 这个 曲面 它 可以 展开 成 平面 我们 举个 例子 比如说 我们 都 吃 橘子 是 吧 橘子 那个 皮 你 把 它 扒开 之后 想 变成 一个 平面 那 是 做 不到 的 对 吧 为什么 橘子 皮 就 不能 扒开 成 一个 平面 呢 同样 道理 地球 也 是 一个 球体 你 如果 想 把 地球仪 上 的 图案画 在 一个 平面 上 画成 一个 平面 地图 那 是 做 不到 的 这个 原因 到底 是 什么 呢 咱们 琢磨 琢磨 所谓 可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面 我们 先 来看 一下 平面 平面 我们 刚才 刚刚 说 过 它 任何 一个 方向 的 主 曲率 都 是 0 所以 主 曲率 的 乘积 高斯曲率 也 必须 是 0 那么 在 你 展开 的 过程 之中 这个 平面 的 高斯曲率 是 不会 发生变化 的 所以 如果 一个 面它 是 可展 曲面 的话 可展 曲面 就是 可以 展开 成 平面 的 曲面 在 展开 的 过程 之中 高斯曲率 是 不会 变 的 所以 可展 曲面 也 必须 高斯曲率 是 0 高斯曲率 是 等于 两个 主 曲率 的 乘积 也就是说 两个 主 曲率 中 至少 有 一个 曲率 是 0 才行 换句话说 如果 你 想 把 一个 曲面 展开 成 平面 的话 那么 过 这个 曲面 的 任何 一个点 都 至少 有 一条 直线 我们 来举 一个 例子 比如说 这个 圆柱体 它 就是 一个 可展 曲面 是 吧 我们 在 任何 一个点 都 可以 画出 直线 来 比如 这条线 就是 直线 对 不 对 那么 这种 曲面 我们 把 它 沿着 任意 一个 方向 剪开 任意 一个 方向 我们 把 它 剪开 最后 你 会 发现 它 都 会 变成 一个 平面 对 不 对 就是 因为 它 过 任何 一点 都 存在 一条 直线 所以 它 的 高斯曲率 是 0 所以 就 可以 展开 你 再 比如 圆锥 你 说 这个 圆锥 它 能 不能 展开 成 一个 平面 呢 它 是 可以 的 为什么 呢 因为 你 在 任何 一个点 你 都 会 找到 一条 母线 Because at any point you will find a bus 这个 母线 它 是 直线 既然 母线 就是 直线 就 说明 这个 圆锥 上 每 一个点 高斯曲率 都 是 0 所以 我们 在 这个 圆锥 上 我 随便 剪 一刀 对 吧 我 随便 地 这个 剪 一刀 剪 完 了 之后 它 就 能够 展开 成 一个 平面 了 对 不 对 就 可以 展开 成 平面 了 但是 如果 是 一个 橘子 的话 你 就 会 发现 它 的 表面 没有 一条 直线 所以 你 把 它 剪开 之后 它 也 不 可能 变成 一个 平面 人们 在 高斯 之后 才 认识 到 这个 问题 在 高斯 之前 人们 画 世界地图 总是 画 不准 Before Gauss, people were always inaccurate when drawing world maps 而且 还 不 明白 为什么 高斯 之后 人们 才 明白 了 因为 地球 上 的 图案 是 不 可能 画 在 一张 平面 上 的 那 怎么 画 地图 呢 人们 采用 了 各种 方法 比如说 有 一种 叫做 墨卡托 投影 的 方法 墨卡托 投影 墨卡托 投影 的 意思 是 说 虽然 我们 没有 办法 把 地球 上 的 图案 直接 放在 一个 平面 上 但是 我们 可以 做 投影 比如 这是 一个 地球 是 吧 我们 在 地球 外边 我套 一个 圆柱 套个 圆柱 套 完 了 圆柱 之后 我 就让 这个 地球 上 每 一个点 都 映射 到 这个 圆柱 上 是不是 然后 我们 再 把 这个 圆柱 给 展开 这 不 就行了 吗 对 吧 但是 这样 展开 之后 虽然 地图 能画 出来 但是 你 会 发现 很 奇怪 你 比如说 南北 两极 的 部位 它 的 那个 面积 会 扩大 的 很多 是 吧 格陵兰岛 看起来 比 非洲 还 大 这个 南极 大陆 看起来 比 欧亚大陆 还要 大 是 吧 这种 投影 它 是 有 一定 的 失 真的 那么 除了 地图 之外 现代 社会 人们 对于 美的 追求 越来越 高 了 所以 在 这个 设计 产品 上 设计 产品 上 很多 时候 也 需要 考虑 到 这个 曲面 是不是 可展 曲面 比如说 设计 跑车 设计 手机 的 外形 等等 你 设计 的 时候 总是 有 两个 思路 一个 思路 就是 你 可以 用 可展 的 这样 的 曲面 还有 一个 思路 就是 可以 用 不可 展 的 不可 展 的 这样 的 曲面 那么 可展 曲面 它 制造 起来 就 比较 容易 就是 我们 可以 先造 一个 平 的 壳 Is that we can make a flat shell first 然后 通过 某些 方法 把 它 压弯 And then bend it by some method 这样 就 可以 造出来 了 是 吧 上色 也 比较 容易 比如说 我们 可以 采用 这个 彩色 膜片 贴合 技术 For example, we can use this color film lamination technology 彩色 膜片 贴合 技术 Color film bonding technology 什么 意思 呢 就是 我们 在 这个 玻璃 壳 底下 我们 垫 一张 这个 平 的 彩色片 然后 通过 一些 方法 一压 把 它 压弯 这个 紧紧 贴合 到 一起 就行了 但是 如果 想做到 这 一点 你 必须 保证 这个 外壳 它 是 可展 曲面 就是说 它 虽然 是 弯曲 的 但 它 是 可以 展开 的 但 也 有 一些 手机 设计 它 就 不 走 寻常路 非要 造出 一些 不可 展 的 曲面 来 比如说 OPPO 新出 了 一个 手机 叫 OPPO Find X3 这个 OPPO Find X3 它 的 这个 后壳 就是 采用 了 一个 不可 展 曲面 的 设计 我们 来看 这个 手机 的 后 壳 设计 了 一种 比较 特殊 的 曲面 称之为 " 环形山 " 这 两面 ( 口误 ) 它 的 高斯曲率 都 是 正 的 是 凸起来 的 到 了 这个 面 形成 了 一种 马鞍 的 形状 就是 凹 进去 的 所以 高斯曲率 是 负 的 那么 你 环绕 一圈 的 高斯曲率 就 一会 正 一会 负 设计师 在 做 这个 设计 的 时候 把 整个 弧面 分成 了 2000 多个 点 实现 了 这个 镜头 和 后 壳 的 完美 融合 实现 了 不 可能 曲面 的 设计 除了 设计 难 之外 另外 一个 难点 在于 制造 不管 你 这个 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的 只要 你 不 为 0 你 就是 不能 展成 平面 的 只要 你 不能 展成 平面 的 必须 是 一次 成型 除了 摄像头 开孔 之外 整个 后壳 没有 任何 开孔 和 拼接 这 也 是 很多 旗舰机 所 追求 的 工艺 那么 在 上色 的 时候 也 不能 采用 这种 彩色 膜片 贴合 技术 的 因为 它 没有 办法 展开 所以 那样 做 的话 会 出现 气泡 那 我们 怎么办 呢 OPPO 的 工程师 采用 的 是 喷涂 树脂 液 镀膜 以及 喷 油墨 的 这种 方法 这种 技术 不光 能够 让 后 壳 看起来 鲜艳 明亮 而且 能够 在 手机 跌落 的 时候 减少 手机 后壳 破碎 的 概率 不仅仅 是 手机 在 现在 的 生活 中 很多 设计师 都 善于 用 曲线 给 人 带来 美感 比如说 北京 有 许多 现代 的 建筑 像 北京 的 凤凰 国际 传媒 中心 大兴 国际机场 望京 Soho 他们 的 设计师 都 用 了 大量 的 曲线 来 给 人 带来 美的 感受 这些 优美 的 建筑 都 凝聚 了 设计师 和 建造 者 们 的 心血 人们 越来越 发现 曲线 相比 于 直线 能够 给 人 带来 一种 特殊 的 美感 当 我们 在 欣赏 这些 美丽 的 产品 的 时候 也 不妨 想一想 它 每 一个点 的 高斯曲率 是 正 的 还是 负 的 呢 因为 即便 有 一天 这些 建筑 和 产品 发生 了 扭曲 它 在 这 一点 的 高斯曲率 依然 是 不会 发生变化 的 大家 如果 喜欢 我 的 视频 可以 在 YouTube 账号 上 李永乐 老师 里 订阅 我 点击 小 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息