Μαθηματικά - Κλάσματα: Πρόσθεση - Αφαίρεση - Ε' - ΣΤ' Δημοτικού Επ. 68
Γεια σου και πάλι.
Χαίρομαι πολύ που τα ξαναλέμε.
Ξεκινήσαμε μαζί ένα ταξίδι στα κλάσματα.
Και σήμερα βρισκόμαστε σε εκείνο τον σταθμό,
που δεν λέει τίποτα άλλο,
παρά πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.
Το πρώτο κομμάτι, η πρόσθεση, είναι αρκετά εύκολη.
Η δεύτερη στάση μας που θα είναι στην αφαίρεση,
θέλει λίγο παραπάνω προσοχή.
Κάτσε όμως. Μην τα πούμε κι όλα απ' την αρχή. Ένα-ένα.
Πάμε λοιπόν. Πρόσθεση κλασμάτων.
Είχαμε δει στα προηγούμενά μας μαθήματα,
ότι για να μπορέσω να προσθέσω δύο ή και περισσότερα κλάσματα,
ακεραίους, μεικτούς, δεκαδικούς,
όπως θα δούμε στη συνέχεια,
πρέπει να είναι ομώνυμα. Δεν μπορώ να κάνω αλλιώς.
Για να δούμε λοιπόν.
Ας τα πάρουμε τα πράγματα σιγά-σιγά.
Λοιπόν...
Θες να γράψουμε μαζί;
Έχεις έτοιμο το τετράδιό σου; Το μολύβι σου;
Έλα! Πάμε!
Θα ξαναβάλω το ίδιο σημαδάκι εγώ εδώ. Σταθερά.
Θα ξαναθυμίσω αυτό το σύμβολο.
Κάθε κλάσμα συμβολίζει μία διαίρεση.
Οι πέντε λέξεις που θα σε βοηθούν πάρα πάρα πολύ.
Το κρατάς και συνεχίζουμε.
Θες να γράψουμε μαζί μία πρώτη πρόσθεση,
να δούμε πώς θα την προχωρούσαμε;
Έλα να δούμε. Ας γράψουμε λοιπόν.
12 και...
3/5 και...
...και 5 και 6/10.
Όπως προσέχεις, επέλεξα κλάσματα με εύκολους παρονομαστές...
...και εύκολο ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
Θα δούμε λοιπόν πάρα πολύ απλά,
ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και το 10 είναι φυσικά το 10.
Να ξαναθυμίσουμε τι είχαμε πει,
παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους δύο παρονομαστές
και ελέγχουμε, μήπως είναι αυτός το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο;
Αν είναι, κανένα πρόβλημα. Δεν έχω ανάγκη να κάνω κάτι άλλο.
Αν δεν είναι, τον διπλασιάζω, τον τριπλασιάζω,
τον τετραπλασιάζω. Δεν θα φτάσω πάρα πολύ μακριά.
Γιατί μετά θα χρησιμοποιήσω, θυμάσαι,
την ανάλυση με τους πρώτους αριθμούς.
Πρώτοι αριθμοί αυτοί που διαιρούνται μόνο, ακριβώς,
με τον εαυτό τους και τη μονάδα.
Πάμε λοιπόν!
Εδώ θα επιλέξω να απομονώσω τους ακεραίους από τα κλάσματα.
Μπορώ να το κάνω πολύ εύκολα, αλλιώς θα...
..."φορτώσω" τους αριθμητές μου, πολύ.
Και θα δυσκολευτώ. Όταν έρθει η ώρα θα μου βγουν κάτι κλάσματα τεράστια...
...και γιατί να κουράζομαι; Δεν υπάρχει λόγος.
Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη της απλότητας.
Και προσπαθώ να κάνω τα πράγματα όσο πιο εύκολα γίνεται.
Για να δούμε λοιπόν!
Ίσον. Θα μαζέψω τον αριθμό 12 και τον ακέραιο 5.
Θα τους βάλω σε μία παρένθεση. Γιατί να μην το κάνω άλλωστε;
Τους περιορίζω εκεί μέσα.
Και δίπλα ακριβώς, για να μην χάνω χρόνο,
έρχομαι εδώ, βάζω τα γνωστά μου "καπελάκια"...
...και αρχίζω και λέω:
Ποιο είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο; Το 10.
Διαιρώ κάθε φορά το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο... να το γράψουμε κιόλας,
για να μην ξεχνιόμαστε. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ο αριθμός 10.
Και διαιρώ το ελάχιστο κοινό μου πολλαπλάσιο με τον παρονομαστή.
Το πηλίκο που μου προκύπτει το βάζω επάνω στο "καπελάκι".
10 : 10 = 1
Με λίγα λόγια, όταν θα πάρω ισοδύναμο κλάσμα,
αυτό το κλάσμα θα έχει παρονομαστή το 10.
10 : 5 = 2
Έρχομαι λοιπόν εδώ...
...και κάνω τα κλάσματά μου ομώνυμα.
Για να τα κάνω ομώνυμα λοιπόν, όπως είχαμε πει για τα ισοδύναμα,
πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
Αυτόν που είναι μες στο "καπελάκι".
2 Χ 3 = 6
2 Χ 5 = 10
Συν... Το ίδιο ακριβώς, πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
1 Χ 6 = 6
1 Χ 10 = 10
Ίσον... 12 + 5 = 17
Και 6 + 6 = 12. 12/10 (δώδεκα δέκατα).
Πρόσεξες ότι το 3/5 και το 6/10 είναι ισοδύναμα;
Όταν τα έκανα ομώνυμα είναι ακριβώς ίδια.
17 και 12/10.
Μπορώ εδώ να βάλω ένα μικρό αστεράκι...
...και να σου θυμίσω ότι το κλάσμα αυτό είναι καταχρηστικό;
Πάμε να του βγάλουμε τις ακέραιες μονάδες του;
Έρχομαι λοιπόν και λέω 12 : 10...
Πάλι κάνω χρήση αυτού που έχω πει τόσες φορές.
Κάθε κλάσμα συμβολίζει μία διαίρεση.
Να την εκτελέσω λοιπόν.
Το 10 στο 12 μία φορά.
1 Χ 10 = 10
Από 12, 2. 1 και 2/10.
Ίσον λοιπόν...
17 και 1 και 2/10.
17 + 1 = 18
Και 2/10.
Μπορώ πολύ εύκολα να απλοποιήσω...
...με τον αριθμό 2. Θυμόμαστε τα κριτήρια διαιρετότητας.
Με το 2 διαιρούνται ακριβώς όλοι εκείνοι οι αριθμοί, όλοι,
που είναι άρτιοι, δηλαδή ζυγοί.
Το 2 και το 10 είναι ζυγοί.
Το 2 στον εαυτό του 1.
Και στο 10, 5.
Το τελικό μου άθροισμα 18 και 1/5.
Άθροισμα ξαναθυμίζουμε είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης.
Θες να του ρίξεις μία ματιά;
Θα μπορούσα να είχα μετατρέψει, ξαναθυμίζω,
το ακέραιο σε κλάσμα, να είχα κάνει τον μεικτό κλάσμα,
πάλι το ίδιο αποτέλεσμα θα μου έβγαινε.
Με λίγο μεγαλύτερο κόπο όμως.
Γιατί θα μου έβγαιναν μεγάλοι αριθμητές...
...και είναι κάτι που δεν θέλω.
Τι λες; Θες να προχωρήσουμε μία ακόμη πρόσθεση ή να πάμε στην αφαίρεση;
Θα σου έλεγα να μείνουμε να δούμε άλλη μία πρόσθεση.
Με δεκαδικό και κλάσμα αυτή την φορά. Μην τρομάζεις!
Είναι απλά τα πράγματα. Μην σε ανησυχεί καθόλου!
Πρόσεξέ με! Λοιπόν...
Να σβήσουμε. Γράφουμε πολύ βλέπεις.
Λοιπόν, ερχόμαστε.
Αυτό δεν θα το πειράξουμε καθόλου.
Ποτέ. Μας είναι πάρα πολύ χρήσιμο. Και το έχουμε εκεί για να το θυμόμαστε συνεχώς.
Για να δούμε λοιπόν...
Ας έρθουμε να προσθέσουμε σε έναν δεκαδικό...
...έναν μεικτό.
Δεν είναι και τόσο δύσκολο.
Καθόλου θα έλεγα.
Πρόσεξέ με.
Τι ακριβώς έχω γράψει;
Πόσα δέκατα έχω;
Ξέρεις, τις περισσότερες φορές, όταν κάπου μπλοκάρουμε,
αρκεί να διαβάσουμε τον ίδιο τον αριθμό.
Αμέσως, θα δεις πόσο εύκολο είναι,
πραγματικά σε λίγα δευτερόλεπτα,
είναι σαν να ξεμπλοκάρω αμέσως. Είναι πάρα πολύ απλό!
Πρόσεξέ το!
Τι μου λέει;
Ότι έχω 0 ακέραιες μονάδες και 5/10.
Ναι αυτός ακριβώς είναι ο αριθμός μου.
Είναι ένα δεκαδικό κλάσμα...
Παρένθεση: δεκαδικά ονομάζονται τα κλάσματα,
που έχουν παρονομαστή το 10, το 100, το 1.000,
το 10.000, το 100.000 και πάει λέγοντας,
και αριθμητή οποιονδήποτε αριθμό.
Λοιπόν... Ίσον λοιπόν...
5/10 συν...
Τι λες; Να τα κάνω... Να κάνω τον μεικτό μου κλάσμα;
Γιατί; Υπάρχει λόγος; Όχι.
Θα το αφήσω λοιπόν 3 και 1/5.
Θα πάω πάλι... Τα κλάσματά μου ομώνυμα.
Πάλι ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο το 10.
Μία φορά, δύο φορές...
Για να δω, ο ακέραιος 3 θα προστεθεί στο τέλος.
1 Χ 5 = 5
1 Χ 10 = 10
Συν 3 και... 1 Χ 2 = 2 δέκατα ίσον...
3, 5 + 2 = 7 και 7/10.
Πολύ απλό!
Τώρα ας περάσουμε στη δεύτερη πράξη,
που είναι αδελφάκι με την πρόσθεση, στην αφαίρεση.
Ας σβήσουμε τον πίνακά μας και ας συνεχίσουμε.
Η αφαίρεση έχει λίγες μεγαλύτερες δυσκολίες.
Γιατί; Γιατί έχει πιο πολλές περιπτώσεις. Δεν είναι κάτι άλλο.
Πάμε να τα πάρουμε λίγο με τη σειρά;
Να δεις πώς ένα-ένα θα τα θυμηθούμε όλα;
Και δεν θα μας μείνει κανένα κενό στο τέλος;
Το πρώτο που θα θυμηθούμε είναι ότι και στην αφαίρεση,
ακριβώς όπως στην πρόσθεση,
πρέπει να μετατρέψω τα κλάσματα σε ομώνυμα.
Δεν γίνεται αλλιώς.
Το επόμενο είναι το να αφαιρέσω τους αριθμητές.
Και τέλος στην αφαίρεση των μεικτών...
...θα πρέπει πάλι να κάνω τα κλάσματα ομώνυμα.
Και να δω, αν αφαιρούνται οι αριθμητές μου, μία χαρά,
αλλιώς, θυμήσου, θα δανειστώ μία μονάδα ακέραιη και θα την κάνω κλάσμα.
Δεν πάμε να τα δούμε όμως στην πράξη καλύτερα, για να μην δυσκολευόμαστε με τα λόγια;
Ας πάρουμε το παράδειγμα ενός μεικτού.
8 και 2/5...
βγάζω 3 και 3/4.
Έχω να αφαιρέσω λοιπόν δύο μεικτούς.
Ίσον... Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 5 και του 4 για να δούμε...
Πάμε, είπαμε, παίρνουμε το μεγαλύτερο,
το διπλασιάζω 10, όχι.
Το τριπλασιάζω, όχι.
Τετραπλασιάζω... 4 Χ 5 = 20
Ναι πολύ σωστά! Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι το 20.
Και γράφω 8 + για να δούμε...
20 : 5 = 4
20 : 4 = 5
2 Χ 4 = 8
4 Χ 5 = 20
Πλην 3...και 3 Χ 5 = 15
4 Χ 5 = 20
Ίσον... Εδώ λοιπόν παρουσιάζεται το εξής.
Ενώ βλέπω ότι πραγματικά ο πρώτος μεικτός,
είναι πολύ μεγαλύτερος από τον δεύτερο.
Κοίταξέ τον κι εσύ. Έχει 8 ολόκληρες ακέραιες μονάδες και ένα κλάσμα.
Και ο άλλος έχει μόλις 3!
Τι παρατηρώ; Ότι ενώ μπορώ να αφαιρέσω τους ακεραίους,
στους αριθμητές κολλάω.
Τι θα κάνω λοιπόν;
Όπως μάθαμε, θα πάρω μία ακέραιη μονάδα,
θα την κάνω κλάσμα,
με αριθμητή και παρονομαστή το 20 τώρα,
γιατί αυτό με συμφέρει, να μην ξανακάνω και άλλες μετατροπές,
και να δυναμώσω τον αριθμητή του απλώς.
Ίσον λοιπόν... 7, παίρνω μία ακέραιη μονάδα, θα τη δεις τώρα.
Συν 20/20 ...
...συν 8/20.
Αυτό ουσιαστικά είναι το 8 και 8/20.
Πλην 3 και 15/20. Ίσον...
Ίσον... Έχω λοιπόν, 7 και 20 + 8 = 28, 28/20.
Ο αριθμός αυτός, αυτός ο μεικτός,
με αυτόν, έχουν ακριβώς την ίδια αξία.
Απλά τι έκανα ξαναλέω.
Πήρα μία ακέραιη μονάδα, την έκανα κλάσμα,
με αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό,
και δυνάμωσα τον αριθμητή μου.
Πλην 3 και 15/20, ίσον...
Παρατηρώ λοιπόν με ευκολία ότι μπορώ τώρα πια,
και τους ακεραίους να αφαιρέσω και τους αριθμητές να αφαιρέσω.
Δεν αφαιρώ ποτέ τους παρονομαστές.
Ίσον λοιπόν... Έρχομαι δίπλα.
7 - 3 = 4.
Και 28 - 15 = ...
8 - 5 = 3
2 - 1 = 1
4 και 13/20.
Αυτό λοιπόν.
Πώς σου φάνηκε;
Να τα ξαναδούμε λίγο;
Παίρνω μία ακέραιη μονάδα.
Την κάνω κλάσμα.
Της προσθέτω το ήδη υπάρχον κλάσμα.
Το δυναμώνω το μεικτό μου.
Και κάνω την αφαίρεση.
Καθόλου δύσκολο.
Επόμενη περίπτωση που θα εξετάσω,
είναι το πώς θα αφαιρέσω ένα κλάσμα από έναν ακέραιο.
Για να δούμε λίγο.
Έχω χώρο εδώ.
Λέω να πάρω... Είχα κρατήσει εδώ μία ωραία σημείωση.
Ναι. Για να δούμε. Από τον ακέραιο 10 θέλω να αφαιρέσω το κλάσμα 2/5.
Πάλι τα ίδια. Θα του πάρω μία ακέραιη μονάδα.
Και τώρα πια θα γίνει 9 και 5/5.
Θα μπορούσα κάλλιστα το 5/5 να το κάνω 8/8,
7/7. Δεν με συμφέρει όμως.
Γιατί έχω ήδη παρονομαστή το 5 και θέλω ένα ομώνυμό του κλάσμα...
...και ίσο με την ακέραιη μονάδα για να κάνω τη δουλειά μου.
Πλην 2/5, ίσον...
Το 9 θα το πειράξω; Καθόλου.
Έχω να του αφαιρέσω κάτι;
Ο αριθμός αυτός, ο μειωτέος μου,
θα μειωθεί στο ακέραιό του μέρος;
Καθόλου. Γιατί δεν έχω ακέραιο να του αφαιρέσω.
Άρα λοιπόν θα παραμείνει ακριβώς όπως είναι.
9 λοιπόν. 5 - 2 = 3, 3/5.
9 και 3/5.
Θα μπορούσα κάλλιστα να κάνω τον ακέραιο κλάσμα,
να του βρω ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο και να προχωρήσω.
Θα ήταν όμως πιο χρονοβόρο και πιο απαιτητικό.
Για να έρθουμε τώρα να σβήσουμε. Να πάμε να δούμε άλλη μία περίπτωση.
Να αφαιρέσουμε λοιπόν τώρα...
Έλα λοιπόν να δούμε ακόμα μία περίπτωση.
Είπαμε η αφαίρεση έχει πολλές περιπτώσεις.
Κι εμείς είμαστε εδώ σήμερα για να τις εξετάσουμε όλες μαζί.
Να δούμε τώρα πώς από έναν ακέραιο μπορώ να αφαιρέσω έναν μεικτό.
Λοιπόν, ακριβώς με τον ίδιο τρόπο.
Θα πάρω πάλι μία ακέραιη μονάδα.
Και ο ακέραιός μου θα γίνει 11 και 10/10.
11 + 1 = 12
Ξαναλέμε: 11 + 1 = 12
10 : 10 = 1
Ξαναθυμίζουμε: κάθε κλάσμα που έχει αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό,
ισούται με την ακέραιη μονάδα.
Πλην 3 και 6/10, ίσον...
Δεν έχω να κάνω και σπουδαία πράγματα.
Αφαιρώ τους ακεραίους.
11 - 3 = 8
10 - 6 = 4, 4/10.
Μπορώ να απλοποιήσω και το 4/10 με το 2, θα γίνει λοιπόν 2/5...
...ίσον 8 και 2/5.
Το κλάσμα 2/5 που δεν απλοποιείται άλλο,
λέγεται ανάγωγο.
Από το στερητικό α- και το άγω, το οδηγώ.
Δηλαδή δεν μπορεί να οδηγηθεί σε πιο απλή μορφή,
είναι η απλούστερη μορφή που μπορεί να έχει.
Η πιο απλοποιημένη.
Να δούμε λοιπόν και μία περίπτωση,
πώς θα αφαιρέσω μεικτό από καταχρηστικό;
Έλα να τη δούμε και αυτήν.
Από το καταχρηστικό κλάσμα 9/2 θα αφαιρέσω τον μεικτό 1 και 1/4.
Εδώ λοιπόν τώρα, τι λες να κάνουμε;
Θέλεις να κάνουμε και αυτό κλάσμα;
Ας δούμε λοιπόν πώς ακριβώς θα τρέξει.
Ίσον λοιπόν... 9/2 μείον...
Θα θυμίσουμε ότι για να μετατρέψουμε...
...έναν μεικτό αριθμό σε κλάσμα,
πολλαπλασιάζω τον παρονομαστή με το ακέραιο μέρος και του προσθέτω τον αριθμητή.
1 Χ 4 = 4 4 + 1 = 5
5/4 ίσον...
Βάζω τα "καπελάκια" μου.
Κανονικότατα. Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο το 4.
1, 2 και ... 2 Χ 9 = 18
2 Χ 2 = 4
Πλην 1 Χ 5 = 5 1 Χ 4 = 4
Ίσον...
18 - 5 = 13, 13/4
Ίσον... Πρόσεξε έναν εύκολο τρόπο,
για να μπορείς να βγάλεις αμέσως τον μεικτό σου αριθμό.
Ρωτάς: Πόσες φορές χωράει το 4 στο 13;
Το 4 στο 13 χωράει 3 φορές.
Παρονομαστής θα είναι το 4 όπως και να έχει.
3 Χ 4 = 12 13 - 12 = 1
Βέβαια και πάλι θα μπορούσες να έρθεις και να κάνεις τη διαίρεσή σου.
Θα είχες ακριβώς το ίδιο αποτέλεσμα.
Θες να το δούμε; 13 : 4 =...
Το 4 στο 13, 3.
3 Χ 4 = 12 13 - 12 = 1
3 και 1/4.
Είτε έτσι είτε έτσι, το αποτέλεσμα θα ήταν ακριβώς το ίδιο.
Ελπίζω να σε βοήθησα να τα θυμηθείς.
Θα έχεις μία πολύ καλή ευκαιρία,
να τα επαναλάβεις ξανά.
Άλλωστε δεν έχουμε τελειώσει.
Μας λείπουν ακόμα ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.
Χάρηκα πολύ που τα ξανάπαμε!
Να έχεις μία πολύ όμορφη μέρα! Γεια σου!
