印度 数学 神童 ——拉 马努金 ，一个 从 未来 穿越 回来 的 数学家 Indian math prodigy - Ramanujan, a mathematician who traveled back from the future Indyjski cud matematyczny - Ramanujan, matematyk, który podróżował z przyszłości. Индийский вундеркинд - Рамануджан, математик, совершивший путешествие из будущего.

妈咪 说 知识 就是 力量 大家 好 我 是 妈咪 叔 Mommy said knowledge is power Hello everyone, I'm Uncle Mommy Mamá dice que el conocimiento es poder. Hola, soy el tío mamá.

今天 咱们 来聊 印度 之子 —— 拉 马努金 Today let's talk about the son of India - Ramanujan

之前 的 视频 介绍 过 一点 但是 那 真的 是 一点 The previous video covered a little bit, but that's really a little bit

拉 马努金 实在 是 太 神话 了 Ramanujan is a myth Ramanujin es realmente un mito.

如果 欧拉 我们 用神来 评价 If Euler we use God to evaluate Si Euler, usamos a Dios para evaluar

那拉 马努金 我 觉得 倒 更 像是 一个 从 未来 穿越 回来 的 人 I think Ramanujan is more like a person who traveled back from the future Narah Manukin, creo, es más bien un hombre que ha vuelto del futuro.

我 不能 说 他 是 神 因为 他 连 自己 的 生命 也 左右 不了 I can't say he is a god because he can't even control his own life No puedo decir que es Dios porque ni siquiera puede controlar su propia vida

32 岁 英年早逝 Fallecido a los 32 años

好 那 咱们 就 先来 简要 介绍 一下 拉 马努金 其 人 Empecemos con una breve presentación de Ramanujin.

以及 他 比较 重要 的 研究 之一 整数 分拆

先 来说 拉 马努金 这位 知 无涯 者 Empecemos con Ramanujin, el hombre que no conoce fin

拉 马努金 1887 年 出生 在 南 印度 Ramanujin 1887 Nacido en el sur de la India

南 印度 比较 贫穷 啊 所以 从小 家里 条件 就 不是 很 好 El sur de la India es un país pobre, por lo que desde muy joven la familia no gozó de muy buena posición económica.

然后 他 还是 一个 虔诚 的 婆罗门教 徒

虽然 婆罗门 在 印度 地位 很 高 但是 大部分 都 是 素食主义者 Aunque los brahmanes gozaban de gran prestigio en la India, la mayoría de ellos eran vegetarianos.

拉 马努金 也 是 所以 你 看 从小 营养不良 Así que, ya ves, desde una edad temprana, desnutridos.

没 怎么 受过 正规 的 教育 Sin mucha educación formal

他 对于 数学 的 理解 别人 理解 不了 His understanding of mathematics cannot be understood by others

而 别人 理解 的 他 也 理解 不了 Y lo que otros entienden él no puede entenderlo

那 他 的 数学知识 都 是从 哪来 的 呢 ？ 是 这样

小 的 时候 他 家里 有 两个 租户

就是 把 房子 租给 别人 来 维持 生活 Se trata de alquilar una casa a otra persona para llegar a fin de mes.

这 两个 租户 刚好 是 大学生 Estos dos inquilinos resultan ser estudiantes universitarios

然后 拉 马努金 对 数学 感兴趣 就 总去 问 他俩 问题 Y a Ramanujin le interesaban las matemáticas, así que solía hacerles preguntas a ambos.

十岁 上 中学 10 años Asiste a la escuela secundaria

但是 11 岁 的 时候 就 已经 通过 这 哥俩 把 大学 数学 学 差不多 了 But when I was 11 years old, I had almost mastered college mathematics through these two brothers Pero a los 11 años, los dos hermanos ya dominaban las matemáticas universitarias.

这 俩 哥们 没辙 了 就 说 小老弟 啊 Estos dos chicos no tienen elección, así que dicen: "¡Eh, hermanito!

我俩 实在 没 啥 教 你 的 了 We really have nothing to teach you Realmente no tenemos nada que enseñarte.

这么着 我 这 有 一本 高等 三角学 So I have a book on advanced trigonometry Aquí, tengo una copia de Trigonometría Avanzada.

我 也 不是 太 懂 要 不 你 自学 一下 吧

用 了 两年 时间 拉 马努金 就 把 这 本书 学透 了

他 还 发现 三角函数 可以 不用 一个 直角三角形 的 三条 边 之 比来 表示

比如说 sinθ 我们 理解 就是 对边 比 斜边 啊

那 不用 这个 怎么 表示 sinθ 啊 ？

想 没想 起来 欧拉 公式 啊 ？

欧拉 早就 发现 了

当拉 马努金 听说 150 年前 有 一位 数学家 叫 欧拉

人家 早就 发现 了 这 给 拉 马努金 气 的

1903 年 拉 马努金 又 得到 一 本书

叫做 《 纯粹 数学 与 应用 数学 基本 结果 汇编 》 Compendium of Fundamental Results of Pure and Applied Mathematics

你 一 听 这名 就 像是 公式 大全 之类 的 是 吧

这 本书 还 真是 这样

这 里面 密密麻麻 罗列 了 5000 多条 定理 和 公式

但是 都 没有 证明 过程 拉 马努金 就 自己 挨个 证

当然 他 所谓 的 证明 和 别人 不 一样 哈

大概 就是 看 一下 哪个 对 哪个 不 对 Probably just to see which one is right and which one is not.

然后 这个 公式 能 怎么 改 一下 呢 吸取 灵感 Then how can this formula be changed for inspiration?

并且 把 自己 的 一些 发现 记录 在 一个 笔记本 里

1904 年 中学毕业 就 开始 考大学 了

当年 没考上 因为 太 偏科 了 I didn't pass the exam because it was too partial

1905 年 也 没考上

到 了 1906 年 终于 考上 当地 一个 大学

但是 上 了 大学 之后 就 一直 挂科

1908 年 就 辍学 了

这个 时候 拉 马努金 21 岁

也 没有 工作 就 在家 呆 着 自己 研究 数学

后来 父母 一看 说 那 给 你 找个 媳妇 吧 Later, my parents saw it and said, let’s find you a wife.

1908 末 就 结婚 了 Married in late 1908

但是 他 媳妇 当年 只有 9 岁 叫做 贾娜 姬 But his daughter-in-law was only 9 years old and her name was Janaji

那个 年代 在 印度 女孩 9 岁 结婚 很 正常 的 事儿 At that time in India it was normal for girls to get married at the age of 9

到 了 23 岁 1910 年 开始 找 工作 了 By the age of 23 in 1910 started looking for work

但是 干点 啥 呢 ？ 别的 也 不会 But what to do? nothing else

只有 自己 厚厚的 一本 笔记 每天 当 宝贝 一样 带 着

那 就 找点 和 数学 相关 的 工作 吧

于是 逢 人 就 说 您 看 我 这 笔记 写 的 怎么样 So when I meet people, I say, what do you think of my notes?

话说回来 了 谁 能看懂 啊

1910 年末 拉 马努金 找到 了 当时 印度 数学 学会 的 主席

这个 印度 数学 学会 也 是 刚成立 1908 年 成立

就是 现在 加尔各答 数学 学会 的 前身

当时 的 主席 叫做 耶尔 这位 是 研究 几何 的 The chairman at that time was Yael, who studied geometry.

并且 是 当地 税务局 的 副 税务官

耶尔一 看 拉 马努金 的 笔记

隐约 感觉 说 你 这个 太 高深 了

我 研究 的 是 几何 我 看不懂 我 给 你 写 几封 推荐信 吧 I study geometry and I can’t read it. I’ll write you some letters of recommendation.

然后 你 在 我 这 税务局 工作 公务 不是 很 繁忙

这样 平时 你 也 能 研究 点 自己 的 东西

你 看 这是 第一个 贵人 You see this is the first nobleman

后来 又 陆陆续续 找 了 印度 很多 数学家

都 表示 看不懂 最后 大家 给出 主意 They all said they didn't understand. In the end, everyone gave their opinions.

说 不行 你 就 联系 联系 国外 吧 当时 英国 的 数学 很 厉害

说 那 你 给 英国 的 数学家 写 写信 看看 他们 怎么 说

1913 年 1 月 16 号 拉 马努金 给 英国 数学家 哈 代写 了 一封信 On January 16, 1913 Ramanujan wrote a letter to British mathematician Hardy

信中 大致 是 这么 说 的

说哈代 老师 您好 我 看 了 您 一篇 论文

但是 其中 有 一个 小 错误 如下 balabala But there is a small error in it as follows balabala

上来 先给 人家 挑 错误 讨厌 Come up and let others find their faults and hate them

然后 说 我 只是 南 印度 的 一个 小 职员

平时 喜欢 研究 数学 以下 是 我 发现 的 一些 公式 请 您 过目

哈代 当时 和 他 的 合作者 也 是 很 好 的 朋友 李特尔 伍德 在 一起 Hardy was with his collaborator and good friend Littlewood

这 二位 其实 咱们 之 前提 过 一嘴 We actually mentioned these two before.

不过 是 在 这 之后 的 事

1923 年哈代 和 李特尔 伍德 （littlewood） 通过 “ 圆法 ” 证明 了

在 假设 广义 黎曼 猜想 成立 的 前提 下

每个 充分 大 的 奇数 都 能 写成 三个 素数 之 和 Every sufficiently large odd number can be written as the sum of three prime numbers

这是 之前 说 的

哈代 看到 拉 马努金 的 信 之后

他 和 李特尔 伍德 最 开始 都 没当回事

毕竟 作为 知名 数学家 来说

收到 民科 的 信 那 就 太 多 了 There are too many letters from Minke

包括 现在 不 也 是 嘛

总 有人 宣称 自己 证明 了 这 猜想 那 猜想 的 Someone always claims to have proved this conjecture and that conjecture

但是 仔细 一看 这些 公式 确实 没见 过 啊 But if you take a closer look at these formulas, you really haven't seen them.

验证 一下 吧 大部分 还 都 对

这 就 不好 了 心想 这 要不是 骗子 就 只能 是 天才 了

1913 年 2 月 8 号 哈代 给 拉 马努金 回信 说 希望 你 能 来 剑桥 一趟

咱们 面谈 吧

但是 拉 马努金 因为 宗教信仰 的 原因 他 不能 出国

后来 做 了 个 梦 说 女神 娜玛 吉利 给 我 托梦 了 Then I had a dream that the goddess Namagiri gave me a dream

没关系 你 可以 出国

这个 女神 娜玛 吉利 就是 拉 马努金 心中 的 信仰

1914 年 拉 马努金 就 前往 剑桥 和 哈代 见面 了

从此 之后 二人 就 建立 了 亦师亦友 的 关系

不过 紧接着 就 一战 了

李特尔 伍德 被 应征 去 前线 参与 弹道 分析 了

哈代 和 拉 马努金 合作 了 几年

其中 最 著名 的 成就 之一 就是 对于 整数 分拆 的 研究 One of the most famous achievements is the study of integer partitions

那 咱们 下面 就 来 聊 一下 整数 分拆

故事 就 到 这里 如果 大家 感兴趣 可以 看 一下 拉 马努金 传 The story ends here. If you are interested, you can read Ramanujan's biography

就 叫做 知 无涯 者 The man who knew infinity

翻译 的 真 好 是 吧 The translation is really good, right?

还有 一个 同名 电影 大家 也 可以 看 一下

好 来说 整数 分拆 哈 什么 叫 整数 分拆 呢 其实 很 简单 Well, integer splitting. What is integer splitting? It’s actually very simple.

就是 把 一个 整数 拆 分成 无序 正整数 组合 的 形式 It is to split an integer into an unordered combination of positive integers

比如说 1 就 只能 拆成 1

2 可以 拆成 1 和 1 还有 2 这么 两种

3 就是 111 和 12 和 3 三种

注意 啊 12 和 21 这 算是 一种

因为 是 无序 的 就是 不 考虑 顺序 Because it is unordered, the order is not considered

那 我们 把 有 几种 分拆 方式 定义 成 一个 函数 p(n)

那像 刚才 举 的 例子 也 就是 p(3)=3

那 如果 是 p(4) 呢 ？

4 能 分拆 成 1111、112、13、22 和 4 一共 五种 分拆 方式

也 就是 p(4)=5 以此类推

是不是 很 好 理解 啊 ？

虽然 问题 很 好 理解

但是 人们 一直 试图 寻找 分拆函数 p 的 表达式

始终 没有 找到

而且 你别 看前 几项 很小 啊 And don't look at the first few items are very small

它 的 发散 速度 是 很大 的 Its divergence speed is very large

比如说 100 有 多少 种 分拆 方式 呢 ？

大概 有 2 亿种

所以 你 看 不 简单 吧

欧拉 当年 倒 是 给出 过 一个 公式

是 关于 p(n) 的 求和 的

就是 分拆函数 的 母 函数 is the parent function of the partition function

但是 算 起来 很 麻烦 还 不如 直接 数 呢 But it's cumbersome to calculate, so it's better to count directly.

说白了 假如 我想求 p(100) To put it bluntly, if I want to find p(100)

如果 有 一个 表达式 我 可以 直接 把 100 输入 进去

多少 种 分拆 结果 直接 就算 出来 那多 好 啊

很 可惜 欧拉 也 没有 给出 这个 公式

这个 时候 就 体现 出拉 马努金 神 一样 的 数学 直觉 了

他 也 不 知道 怎么 想 的 给出 这样 一个 公式

他 说 p(n) 近似 等于 1/4n√3exp(π√2n/3)

这个 exp 就 表示 以 e 为底 的 指数

你 要说 他 是 瞎 凑 的 吧 You want to say that he is fooling around?

正常人 肯定 不会 瞎 凑出 这么 一个 公式 来

这个 公式 虽然 不 精准 有 误差

但是 完美 的 表示 了 p(n) 函数 的 渐近线

就是 n 越大 误差 越小 这 就 更 不 可能 是 瞎蒙 的 了

然后 哈代 就 问 他 说 你 怎么 算 出来 的 啊

拉 马努金 说 我 就是 睡觉 或者 是 祈祷 的 时候 我 女神 告诉 我 的

你 看 所以 我 说 他 就 像是 从 未来 穿越 回来 的 人 嘛

当然 现在 有 更加 精准 的 p(n) 表达式 了 哈

咱们 就 不 继续 介绍 了

再 来说 一个 拉姆 努金 的 公式

拉姆 努金 曾经 给出 过 这样 一个 公式

√1+2√1+3√1+4√1+…… 一直 进行 下去 √1+2√1+3√1+4√1+... keep going

来 猜 一下 它 等于 多少 ？ 是不是 看着 都 迷糊 ？

拉姆 努金 说 它 等于 3

这个 也 叫做 拉姆 努金 恒等式

其实 我们 倒回去 想 可能 更好 理解 一些 In fact, let's go back and think that we might understand better.

3=√9=√1+2*4

就是 根号 下 1+ 前 一个 数和后 一个 数 相乘 It is 1+ under the root sign, the previous number is multiplied by the next number

4 就 等于 √1+3*5 是 这个 规律 吧 ？

那 我们 就 把 刚才 的 4 换成 这种 形式

然后 再 把 5 换成 这种 形式 以此类推

是不是 就 有点像 了 ？

但是 这 还 不是 证明

要 想 证明 还 需要 构造 一个 数列 咱们 就 不 继续 说 了

重点 就是 拉 马努金 也 没 通过 证明

完全 通过 直觉 就 给出 了 这个 恒等式

真的 是 无法 想象 really unimaginable

我 对 这个 恒等式 有个 印象 很 深刻 的 事儿

2013 年 亚冠 决赛 当时 是 恒大 对 首尔 FC The 2013 AFC Champions League final was between Evergrande and Seoul FC

赛前 恒大 做 了 一个 海报

就是 这个

左边 是 拉 马努金 恒等式

右边 是 欧拉 恒等式

左边 等于 3 left equals 3

右边 等于 几 啊 ？ How much is the right side equal to?

等于 0 是 吧

象征 着 3：0 势在必得

结果 是 1：1 平

但是 恒大 还是 凭借 客场 进球 夺冠 了

拉 马努金 类似 的 连分数 等式 还有 无限 求和 的 公式 还有 很多

他 都 说 是 女神 告诉 他 的

后人 研究 他 的 很多 公式 发现 可以 用 在 黑洞 、 人工智能 等 领域 Later generations studied many of his formulas and found that they can be used in black holes, artificial intelligence and other fields

但是 他 那个 时候 哪 知道 黑洞 和 人工智能 是 啥 啊

你 看 是不是 像是 穿越 回来 的 ？ Do you think it looks like you have traveled back in time?

反正 是 神人 一个 anyway, a god

很难 想象 如果 拉 马努金 没有 英年早逝 数学 到 今天 会 发展 成 什么样

最后 缅怀 一下 这位 数学 伟人

好 那 今天 就 聊到 这

我 是 妈咪 叔 一个 较真儿 的 理工 男

下期 见 拜拜