Μαθηματικά - Πράξεις με κλάσματα - Ε' Δημοτικού Επ. 26
Γεια σας παιδιά, ονομάζομαι Παναγιώτα.
Eίμαι δασκάλα της E' Δημοτικού.
Και σήμερα θα μιλήσουμε για τα κλάσματα.
Όταν ήμουν μικρή σκεφτόμουν, τι είναι κλάσματα;
Το έβλεπα σαν ένα μεγάλο βουνό που έπρεπε να ανέβω.
Θα σας βοηθήσω σήμερα, να το ανέβουμε μαζί.
Όσοι δυσκολεύεστε ή όσοι έχετε κατανοήσει τα κλάσματα θα κάνουμε μια μικρή επανάληψη.
Κλάσμα είναι μια διαίρεση με αριθμητή το διαιρετέο και παρονομαστή τον διαιρέτη.
Όταν μιλάμε για μια διαίρεση έχουμε μάθει να χρησιμοποιούμε δύο ρήματα:
Το χωρίζω.
...ή το "μοιράζω".
Και πάντα χωρίζουμε ή μοιράζουμε σε ίσα μέρη.
Ωραία! Τι μοιράζουμε όμως στην περίπτωση των κλασμάτων;
Μοιράζουμε την ακέραιη μονάδα, ένα ολόκληρο.
Μπορεί για παράδειγμα να έχουμε ένα χαρτόνι και να πρέπει να το μοιράσουμε.
Τα ίσα μέρη μας τα δείχνει ο παρονομαστής. Πόσα ίσα μέρη έχουμε εδώ;
3. Πολύ σωστά! Χώρισα αυτό το χαρτόνι σε 3 ίσα μέρη.
Ο αριθμητής τι μου δείχνει; Μου δείχνει τα μέρη που θέλω να χρησιμοποιήσω.
Πόσα μέρη θέλω να χρησιμοποιήσω; Δύο. Πολύ ωραία!
Αυτό σημαίνει ότι έχω χωρίσει μία ακέραιη μονάδα σε 3 ίσα μέρη και έχω πάρει τα δύο.
Πάμε να δούμε τώρα τι κλάσματα υπάρχουν με βάση τον παρονομαστή.
Να δείξουμε στην διαφάνεια.
Λέγονται: Ομώνυμα ή ετερώνυμα κλάσματα.
Να δούμε τι είναι τα ομώνυμα κλάσματα.
Για παρατηρήστε εδώ σε αυτή την εικόνα.
Έχω χρωματίσει τους παρονομαστές. Τι βλέπετε;
Ωραία! Είναι ίδιοι. Άρα τα ομώνυμα κλάσματα έχουν ίδιους παρονομαστές.
Βλέπουμε οι αριθμητές είναι διαφορετικοί. Δεν μας ενδιαφέρουν οι αριθμητές.
Πάντα παρατηρούμε τους παρονομαστές.
Να δούμε και τα ετερώνυμα! Τα ετερώνυμα κλάσματα, τι βλέπετε;
Πολύ ωραία! Έχουν διαφορετικούς παρονομαστές.
Τους έχω χρωματίσει. Και μπορεί να έχουν ή ίδιο αριθμητή ή και διαφορετικό.
Πάλι δεν μας ενοχλεί.
Ωραία, πάμε να δούμε τις πράξεις των κλασμάτων.
Θα ξεκινήσουμε με την πρόσθεση.
Όπως είπαμε έχουμε δύο είδη κλασμάτων: τα ομώνυμα και τα ετερώνυμα.
Εγώ θα γράψω στον πίνακα πράξεις με κλάσματα και θα λέμε αν είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα.
Τι είπαμε ότι πρέπει να παρατηρήσουμε για να πούμε αν είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα αυτά τα κλάσματα;
Φυσικά τους παρανομαστές Είναι ίδιοι;
Πολύ ωραία! Είναι ίδιοι, οπότε είναι ομώνυμα τα κλάσματα.
Σε αυτή την περίπτωση στα ομώνυμα κλάσματα αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή.
Δεν τον πειράζουμε ποτέ.
Και κάνουμε την πράξη των αριθμητών. Δηλαδή 1 + 2 = 3
Άρα το κλάσμα μας είναι τα 3/3,
Όταν έχουμε ένα κλάσμα με ίδιο αριθμητή και...
...ίδιο παρονομαστή σημαίνει ότι έχουμε 1 ολόκληρο.
Άρα, έχουμε χωρίσει για παράδειγμα το χαρτόνι στα 3.
Το βλέπουμε, 3 ίσα μέρη. Να το χρωματίσουμε.
Και έχουμε πάρει τα 3 κομμάτια.
Τι έχουμε δηλαδή; Έχουμε 1 ολόκληρο. Μια ακέραιη μονάδα.
Αυτό που λέμε 1 ακέραιη μονάδα.
Ας δώσω άλλο ένα παράδειγμα για τα ομώνυμα κλάσματα.
Τι πρέπει να παρατηρήσουμε;
Τους παρονομαστές.
Έχω γράψει σωστά; Είναι ομώνυμα; Είναι γιατί έχουν ίδιους παρονομαστές.
Ας κάνουμε την πράξη στον αριθμητή.
Αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή.
Δεν τον ενοχλούμε ποτέ στα ομώνυμα κλάσματα και κάνουμε την πράξη στον αριθμητή.
Όταν ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή,
σημαίνει ότι τα 10/4 είναι μεγαλύτερο του ενός.
Γιατί έχουμε πάρει περισσότερα κομμάτια από το ολόκληρο.
Έχουμε πάρει 10 κομμάτια και έχουμε χωρίσει...
...κάποιες ακέραιες μονάδες στα 4, για να τα πάρουμε.
Τι σημαίνει τα 10/4 ; Σημαίνει είπαμε ότι είναι ένα κλάσμα μεγαλύτερο από τη μονάδα.
Πάντα όταν ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο της
μονάδας πρέπει να το μετατρέψουμε σε μικτό αριθμό.
Δηλαδή σε ένα αριθμό που έχει και ακέραιο μέρος και κλασματικό.
Το 10/4 σημαίνει τη διαίρεση: 10 : 4.
Άρα θα ρωτήσω μέσα στο μυαλό μου...
Πόσες φορές χωράει το 4 στο 10;
2 - δύο.
Γιατί 2 x 4 = 8.
Έτσι πόσα μας έχουν μείνει στον αριθμητή, αν από τα 10 βγάλω τα 8;
2 - δύο.
Τον παρονομαστή δεν τον πειράζω καθόλου.
Εδώ βλέπουμε ότι το κλάσμα μπορεί να απλοποιηθεί. Θυμίζω τη διαδικασία.
Η απλοποίηση του κλάσματος γίνεται μόνο δημιουργώντας ένα ισοδύναμο κλάσμα
μέσα από μία διαίρεση.
Πάντα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό.
Άρα έχουμε το ακέραιο μέρος, δεν το πειράζουμε καθόλου. Είναι ολόκληρα, τα έχουμε πάρει.
Άρα, με ποιόν αριθμό μπορώ να διαιρέσω; Τον ίδιο αριθμό το 2 και το 4;
Με το 2.
Δημιουργώ, όπως λέμε, τα ισοδύναμα κλάσματα μέσα από τη διαίρεση.
Άρα 2 το ακέραιο μέρος.
Και 1/2.
Άρα εδώ πέρα συμπληρώνω 2 και 1/2.
Είναι το αποτέλεσμα αυτής της πρόσθεσης.
Πάμε να δούμε για τα ετερώνυμα κλάσματα προσθέσεις.
Είναι λίγο περισσότερη διαδικασία. Θα το δούμε.
Έχουμε 1/2 + 3/4.
Τι λέμε;
Πάντα παρατηρούμε τους παρονομαστές.
Είναι ίδιοι ή διαφορετικοί;
Είναι διαφορετικοί. Έχουμε το 2 και το 4.
Πάμε στη δεύτερη μεθοδολογία που πρέπει να ξέρουμε για τα κλάσματα.
Τα ετερώνυμα αυτή τη φορά.
Και λέμε: θέλω να φτιάξω αυτά τα δύο κλάσματα που να έχουν παρονομαστή ίδιο.
Πώς το κάνω αυτό; Για να μην δυσκολεύομαι φτιάχνω...
...ισοδύναμο κλάσμα με πολλαπλασιασμό αυτή τη φορά.
Είτε το ένα κλάσμα, είτε το δεύτερο. Θα σας δείξω τον τρόπο πολλαπλασιάζοντας...
...αυτή τη φορά με τον ίδιο αριθμό τον αριθμητή και τον παρονομαστή.
Πάμε εδώ να δούμε πώς θα γίνει.
Έχουμε το 1/2 και τα 3/4.
Σκέφτομαι στην αρχή, πάω στον μικρότερο παρονομαστή.
Μπορώ να φτιάξω αυτόν τον παρονομαστή να είναι ίσος με τον δεύτερο;
Δεν χρειάζεται να δούμε εδώ τα πολλαπλάσια των δύο αριθμών.
Γιατί από την προπαίδεια του 2 ξέρω ότι μπορώ να φτάσω στο 4.
Είναι το δεύτερό του πολλαπλάσιο. Άρα τι κάνω ;
Πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή, με ποιόν αριθμό;
Για να γίνει εδώ ο παρονομαστής 4;
Με το 2.
Όταν πειράζω ένα κλάσμα, πειράζω αριθμητή και παρονομαστή. Πάντα.
Διαφορετικά δεν έχω φτιάξει ισοδύναμο κλάσμα,
δηλαδή κλάσμα που να έχει το ίδιο αποτέλεσμα.
Οπότε έχουμε 1 x 2 = 2 για τον αριθμητή και 2 x 2 = 4 για τον παρονομαστή.
Πάμε και ερχόμαστε εδώ στο κλάσμα μας.
Το 1/2, το έχουμε μετατρέψει πολλαπλασιάζοντάς...
...αριθμητή και παρονομαστή με το 2 σε 2/4.
Αυτό το κλάσμα, τα 3/4, δεν το πειράζουμε, καθώς θέλουμε να έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
Οπότε έχουμε έρθει στη μεθοδολογία, που έχουμε για τα ομώνυμα κλάσματα αυτή τη στιγμή.
Δηλαδή τι; Δεν πειράζουμε παρονομαστή. Σωστά.
Και απλά κάνουμε την πράξη στους αριθμητές.
2 + 3 = 5.
Βρίσκουμε ότι αυτό το κλάσμα έχει μεγαλύτερο αριθμητή από τον παρονομαστή.
Άρα θα πρέπει να ακολουθήσουμε τη διαδικασία με τον μικτό αριθμό.
Και λέμε: πόσες φορές χωράει το 4 στο 5;
Μία ολόκληρη φορά. Και μας μένει 5 – 4 = 1
Και μας μένει άλλο 1/4. Είναι σαν να είχαμε χωρίσει 1 χαρτόνι, εδώ, στα 4.
Έχουμε πάρει 4 ολόκληρα, από εδώ, αλλά θέλουμε 5.
Άρα χωρίζουμε και ένα δεύτερο και παίρνουμε άλλο 1 κομμάτι.
Έχουμε δηλαδή 1/4 + 1/4 και ούτω καθεξής.
1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 έχουμε δηλαδή 5/4 ,
1, 2, 3, 4, 5
Ας ακολουθήσουμε τώρα τη διαδικασία που ακολουθούμε...
...στην αφαίρεση για τα ομώνυμα και ετερώνυμα κλάσματα.
Στην αφαίρεση ακολουθούμε ακριβώς την ίδια διαδικασία μόνο που αλλάζουμε την πράξη.
Έχουμε ένα κλάσμα...
...το 10/5 , από το οποίο θα αφαιρέσω το 7/5.
Το πρώτο πράγμα που κάνουμε, καλό θα ήταν αν έχετε ένα στυλό ή ένα μολύβι,
σημειώνουμε τους παρονομαστές. Για να δούμε αν είναι ίδιοι.
Είναι ίδιοι; Είναι ομώνυμα τα κλάσματα, οπότε έχουμε πολύ εύκολα να κάνουμε την πράξη.
Δηλαδή να αφαιρέσουμε τους αριθμητές 10 – 7 = 3
Ο παρονομαστής μένει ίδιος. Στα ομώνυμα κλάσματα δεν αλλάζουμε παρονομαστές.
Έχουν την ίδια βάση. Δηλαδή έχει χωριστεί η ακέραιη μονάδα σε ίδια μέρη.
Ωραία! Πάμε στα ετερώνυμα κλάσματα.
Θα σας δείξω έναν δεύτερο τρόπο για τα ετερώνυμα κλάσματα,
βρίσκοντας το ελάχιστό τους κοινό πολλαπλάσιο.
Σημειώνω τους παρονομαστές. Βλέπω ότι είναι διαφορετικοί.
Έχουμε το 12 στα 10/12 και το 2 στο 1/2.
Άρα θα ξεκινήσω να βρω τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσιά τους,
για να μπορέσω να βρω τον παρονομαστή, που θα πρέπει να χρησιμοποιήσω.
Θα ξεκινήσω από τον μεγαλύτερο αριθμό, να βρω τα πολλαπλάσιά του,
για να ξέρω, όταν βρω τα πολλαπλάσια του μικρού,
που θα σταματήσω να μην χρειάζεται να κάνω πολλές πράξεις.
Πάντα ξεκινάμε από τον αριθμό και συνεχίζουμε.
Αν δεν ξέρουμε την προπαίδεια του αριθμού απλά προσθέτουμε τον ίδιο αριθμό πολλές φορές.
Άρα το δεύτερο πολλαπλάσιο του 12, θα είναι το 24...
...και το τρίτο πολλαπλάσιο του 12, θα είναι το 36.
Δεν θα συνεχίσω άλλο γιατί την προπαίδεια του 2 την γνωρίζω.
Σίγουρα θα φτάσει μέχρι κάποιους αριθμούς μπροστά.
Οπότε ξεκινάω με το 2 και συνεχίζω, προσθέτω...
...συνέχεια τον αριθμό 2 ή γράφω την προπαίδειά του.
2, 4 και συνεχίζω...
Σταματάω όταν βρίσκω ίδιο αριθμό με τα πάνω πολλαπλάσια,
με τα πολλαπλάσια του μεγαλύτερου αριθμού.
Τι βλέπω; 'Οτι συναντιούνται στο 12.
Άρα το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο...
...του 2 και του 12 είναι το 12.
Αυτός θα είναι και ο παρονομαστής που θα χρησιμοποιήσω.
Πάμε εδώ να δούμε.
Έχω το 12 σε αυτόν τον παρονομαστή; Συγνώμη σαν παρονομαστή σε αυτό το κλάσμα;
Το έχω. Άρα αυτό το κλάσμα δεν το πειράζω καθόλου...
...γιατί έχει τον παρονομαστή που θέλω.
Και αφαιρώ το δεύτερο κλάσμα που θα δημιουργήσω.
Έχουμε το 1/2. Βλέπω εδώ στα πολλαπλάσια του 2 ότι...
Πόσες φορές έχω χρησιμοποιήσει το 2;
1, 2, 3, 4, 5 ,6.
Άρα μου εμφανίζει ακριβώς τον αριθμό που θα πρέπει να χρησιμοποιήσω...
...για τον πολλαπλασιασμό, να φτιάξω ένα ισοδύναμο κλάσμα.
Και δημιουργώ το δεύτερο κλάσμα.
1 x 6 = 6, 2 x 6 = 12.
Έχω δημιουργήσει ομώνυμα κλάσματα.
Όπως βλέπουμε, έχουν ίδιους παρονομαστές.
Άρα αφαιρώ τους αριθμητές τους:
10 – 6 = 4, 4/12.
Σβήνω αυτά για να έχουμε χώρο.
Σκεφτείτε την προπαίδεια του 4, συναντάει το 12.
Οπότε ο αριθμός που θα χρησιμοποιήσουμε για την απλοποίηση είναι το 4.
Και έχουμε για αριθμητή 4 : 4 = 1.
Και 12 : 4 = 3.
Άρα αυτή η αφαίρεση έχει ως αποτέλεσμα το 1/3.
Συνεχίζουμε με την πράξη του πολλαπλασιασμού.
Στην πράξη του πολλαπλασιασμού, είναι πιο εύκολα τα πράγματα.
Αφήνω και το κόκκινο στυλό, γιατί δεν χρειάζεται να δώσουμε καμία σημασία...
...στους παρονομαστές των κλασμάτων, δηλαδή αν είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα.
Και αρχίζουμε.
Ας κάνουμε με ίδια κλάσματα. Δηλαδή με ομώνυμα η μια πράξη και μετά με ετερώνυμα,
για να δείτε ότι δεν υπάρχει θέμα, στο αν θα πρέπει να παρατηρούμε τους παρονομαστές.
Η μεθοδολογία στον πολλαπλασιασμό είναι:
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος.
Και παρονομαστή με παρονομαστή και είναι το αποτέλεσμα του παρονομαστή, που θέλουμε.
Άρα για αριθμητή έχουμε: 1x2.
Και για παρονομαστή: 3x3.
Οπότε έχουμε 1 x 2 = 2...
...και 3 x 3 = 9.
Πάντα παρατηρώ αν μπορώ να κάνω απλοποίηση.
Σκέφτομαι την προπαίδεια του 2, δεν υπάρχει μέσα το 9, οπότε είναι το αποτέλεσμά μας.
Δεν συνεχίζουμε την πράξη, είναι αυτό που θέλουμε.
Πάμε να δούμε πολλαπλασιασμό με ετερώνυμα κλάσματα.
Αν και είπα, δεν έχει αξία να τα παρατηρούμε.
Απλά το δείχνω για να μην μπερδευόμαστε.
Έχουμε 2/4 και 6/2.
Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή 2x6...
...και παρονομαστή με παρονομαστή 4x2.
Και έχουμε 2x6 = 12 για αριθμητή.
Και 4x2 = 8.
Κοιτάζω αριθμητή και παρονομαστή.
Υπάρχει κάποιος αριθμός που μπορούμε να διαιρέσουμε...
...και αριθμητή και παρονομαστή για να απλοποιήσουμε το κλάσμα;
Για να το σκεφτούμε λίγο.
Υπάρχει και είναι ο αριθμός 4.
Έχουμε δηλαδή, 12 : 4 = 3
και 8 : 4 = 2
Βλέπουμε εδώ ότι ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή.
Άρα έχουμε ολόκληρο ακέραιο μέρος και πρέπει να το φτιάξουμε μικτό αυτό το κλάσμα.
Πόσες φορές χωράει το 2 στο 3; 1 φορά.
Άρα έχουμε 1 ολόκληρο και πόσα μας μένουν;
Από το 3 βγάζω 2.
Το υπόλοιπο μπαίνει στον αριθμητή και ο παρονομαστής μένει πάντα ίδιος και δεν τον πειράζω καθόλου.
Άρα είναι 1 1/2 , το αποτέλεσμα της πράξης μας.
Ας δούμε τώρα τη διαίρεση.
Να σκεφτώ λίγο.
Λέγαμε σε πιο μικρές τάξεις, ότι η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού.
Αυτό είναι μια πάρα πολύ καλή συμβουλή που μας έχουν δώσει παλαιότερα οι δάσκαλοί μας
Και θα τη χρησιμοποιήσουμε εδώ.
Έχουμε τη διαίρεση 3/2 : 2/3.
Βλέπουμε ότι οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί.
Όπως και στον πολλαπλασιασμό δεν δίνουμε σημασία,
αν είναι ετερώνυμα ή ομώνυμα τα κλάσματα.
Απλά θα κάνουμε την πράξη που θα σας πω.
Γράφουμε το πρώτο κλάσμα ακριβώς ίδιο.
Αλλά αφού η διαίρεση είναι η αντίστροφη πράξη του...
... πολλαπλασιασμού, χρησιμοποιώ τον πολλαπλασιασμό.
Και τι κάνω; Αντιστρέφω τους όρους του δεύτερου κλάσματος.
Δηλαδή: ο παρονομαστής θα γίνει αριθμητής και ο αριθμητής θα γίνει παρονομαστής.
Και συνεχίζω την πράξη όπως στον πολλαπλασιασμό που δείξαμε πριν.
3 x 3 = 9
Και 2 x 2 = 4.
Άρα πολλαπλασιάζω αριθμητές και είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος 3x3 = 9
και πολλαπλασιάζω και παρονομαστές 2x2 = 4.
Βλέπω ότι ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον
παρονομαστή, άρα το μετατρέπω σε μικτό αριθμό.
Δηλαδή; Πόσες φορές χωράει το 4 στο 9;
Χωράει 2 φορές, 2 x 4 = 8...
...και μας μένει, 9 – 8 =1,
Μας μένει 1/4 ακόμα. Άρα είναι ο μικτός αριθμός 2 και 1/4 το αποτέλεσμά μας.
Ας δούμε τη μεθοδολογία μέσα από την παρουσίαση.
Στα ομώνυμα κλάσματα, όπως βλέπουμε, προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμητές...
...και αφήνουμε ίδιο τον παρονομαστή. Είναι ίδιος δεν τον ενοχλούμε.
Στα ετερώνυμα κλάσματα πρέπει να φτιάξουμε...
...ίδιους παρονομαστές με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.
Και ύστερα προσθέτουμε ή αφαιρούμε αριθμητές, δηλαδή χρησιμοποιούμε...
...τη μέθοδο μετά για τα ομώνυμα κλάσματα, όταν τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα.
Ας πάμε στην πράξη του πολλαπλασιασμού.
Στον πολλαπλασιασμό δεν χρειάζεται να δούμε, αν είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα τα κλάσματα.
Γιατί απλά και εύκολα πολλαπλασιάζουμε αριθμητή με αριθμητή και είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος.
Και παρονομαστή με παρονομαστή και είναι το αποτέλεσμα του παρονομαστή, που θέλουμε.
Στη διαίρεση μπορούμε να διαιρέσουμε ομώνυμα κλάσματα, διαιρώντας μόνο τους αριθμητές τους.
Και ο δεύτερος τρόπος είναι αυτός στα ετερώνυμα κλάσματα.
Και στα ομώνυμα μπορούμε να το κάνουμε για αυτό δεν το έδειξα.
Αντιστρέφουμε την πράξη. Δηλαδή η αντίστροφη πράξη της διαίρεσης είναι ο πολλαπλασιασμός.
Αντιστρέφουμε τους όρους του κλάσματος και συνεχίζουμε τη διαδικασία που χρησιμοποιούμε για τον πολλαπλασιασμό.
Αυτά είχα να σας πω. Ελπίζω να σας βοήθησα και να τα ξαναπούμε!
