0.999…=1吗 ？无穷小 量 的 数学史 Does 0.999...=1? A history of the math of infinitesimals Является ли 0,999...=1? Математическая история бесконечно малых величин

妈咪 说 知识 就是 力量 大家 好 我 是 妈咪 叔

最近 好多 同学 给 我 留言 问 0.999… 到底 等 不 等于 1？

还有 同学 直接 发来 私信 给出 简要 证明 的

说 1/3=0.333…

那 三个 1/3 就是 0.999…

但是 3*1/3=1 啊

所以 0.999…=1

说 妈咪 叔 你 看 这个 式子 你 怎么 解释

哎呀 这 真是 个 长久不衰 的 辩论 题

我 隐约 能 感觉 出来

在 大部分 人 眼中 0.999…… 和 1 是 不 相等 的

但是 为什么 貌似 通过 一些 简单 的 证明

就 能 得出 它 俩 相等 的 结论 呢 ？

大伙 都 感觉 很 奇怪

那 我 先来 告诉 大家

在 标准 实数 系 当中 它们 就是 相等 的

就是说 它 俩 表示 的 是 同一个 数

而 在 非标准 分析 比如 超 实数 当中 0.999… 就 不 等于 1

所以 严格来说 这道题 的 答案 取决于 你 采用 什么 框架

当然 这 是 后 话

因为 在 初高中 是 不 涉及 这个 问题 的

大部分 人 接触 过 的 数学 都 是 在 实数 体系 下 的

那 问题 就是 为什么 好多 人 在 现有 的 框架 下 不 接受 相等 的 事实 呢 ？

今天 咱们 就 针对 这个 问题 闲聊 几句

其实 这件 事 在历史上 被 人们 接受 也 是 一个 很 漫长 的 过程

乃至于 直到现在 仍然 有人 不 接受

就算 是 上课 的 时候 老师 明确 的 说 了 0.999… 就是 等于 1 的

肯定 有 同学 心里 想 的 是

不 可能

明明 感觉 上 就 差 那么 一点儿 嘛

那 咱们 就 来 讨论一下

你 感觉 上 的 那 一点儿 究竟 差 在 哪 了 呢 ？

首先 我 先来 把 问题 细化 一下

你们 应该 认为 1 比 0.9 循环 大 一点

但是 大 多少 呢 ？ 大 这 一点儿 又 不能 用 任何 实数 表示 出来

因为 你 一旦 表示 出来 了 你 就 能 找到 一个 更 小 的 差距

所以 你们 应该 认为 1 比 0.9 循环 大 了 一个 无穷小 对 吧 ？

那 这个 无穷小 又 是 啥 呢 ？

这个 问题 正是 当年 引发 第二次 数学 危机 的 问题

所以 明确 这道题 的 主要矛盾 在 哪 了 吧 ？

这个 无穷小 可 曾经 给 数学家 带来 好大 的 困惑 啊

最早 发现 无穷小 不好惹 的 人 就是 阿基米德

阿基米德 在 求 图形 面积 的 时候 使用 的 夹 逼法

就是 一点点 逼近 这个 图形 的 面积

这 叫做 穷竭 法

不过 在 阿基米德 的 方法 当中 只要 结果 的 精确度 够用 了 就 行

换句话说 他 绕开 了 无穷小 的 问题

再 后来 直接 用 无穷小 惹 事儿 的 人 就是 两位 微积分 的 祖师爷

牛顿 和 莱布尼茨

这 二位 在 发明 微积分 的 时候 就 经常 使用 无穷小 来 处理 问题

但是 很快 人们 提出 了 一个 质疑

以 大主教 贝克莱 为首 的 是 吧

说 你 这个 无穷小 一会儿 是 0 一会儿 不是 0

它 到底 是 啥 啊 ？

你 看 这 不 就是 咱们 的 问题 嘛

贝克莱 为啥 这么 说 呢 ？

因为 在 微积分 当中 无穷小 量 是 可以 当 除数 的

这 就 说明 它 不是 0 啊 0 哪能 当 除数 啊

然后 你 另一边 的 同一个 无穷小 量 又 给 省去 了

你 又 说 它 等于 0

这一下 就 给 贝克莱 整蒙 了

这 就 难免 不让 人 怀疑 微积分 的 严谨性 啊

所以 贝克莱 管 无穷小 量 叫 幽灵 嘛

说 你 如果 想 让 人们 相信 微积分 是 准确 的

那 就 必须 得 对 无穷小 量 做 一个 定义

它 到底 是 啥

牛顿 根本 就 懒得 理他

最终 是 莱布尼茨 给出 了 无穷小 量 的 定义

莱布尼茨 说 无穷小 量 是 一个 比 0 大

但是 比 任何 实数 都 小 的 一个 量

它 可以 进行 四则运算 还 能 当 除数

莱布尼茨 说 它 是 一个 消失 中 的 量

所以 必要 的 时候 可以 舍去

你们 感觉 莱布尼茨 的 定义 咋样 ？

应该 有人 感觉 对 对 这 就是 我 想 说 的

但是 我 告诉 大家

在 后来 的 数学家 眼中 这 事儿 说不过去

这回 是 以 达朗贝尔 和 拉格朗 日 为首 的

他俩 就 说 首先 这个 无穷小 你 拿来 做 运算 了

那 它 就 肯定 是 个数

是 数 就 一定 能 表示 出来 吧

但是 你 又 说 它 比 0 大比 任何 实数 都 小

那来 吧

你 给 我 找 一个 这样 的 数

找 出来 我 就 信 你

肯定 是 找 不 出来 啊

你 看 单纯 从 逻辑 上 说 也 确实 说不过去

就是 既然 找 不到 是不是 就是 不 存在 呢 ？

于是 数学家 就 开始 考虑 这样 一个 事情

能 不能不 用 无穷小 量 来 重新 定义 微积分 呢 ？

就是 把 无穷小 量 的 概念 抛弃 掉

反正 无穷小 量 的 定义 又 找 不到

这件 事 就是 由 柯西 和 维尔斯 特拉斯 完成 的

直到 柯西 给出 了 极限 的 定义

这 就是 很多 人 把 微积分 分成 了 两个 阶段 的 原因

牛顿 和 莱布尼茨 时期 的 微积分 叫做 无穷小 微积分

也 叫 古典 微积分

从 柯西 之后 微积分 变成 了 极限 微积分

就是 我们 现在 学 的

人们 把 无穷小 的 概念 扔 了

这样 才 算是 解决 了 第二次 数学 危机

但是 你 发现 这 段 故事 似乎 对于 咱们 的 问题 没有 任何 帮助

就是 我 想 知道 无穷小 到底 是不是 0

你 告诉 我 没有 无穷小 咱们 谈 的 是 极限

你 肯定 不 满意 啊

那 咱们 来说 说 极限 和 无穷小 之间 又 有 什么 关系

高中 你 肯定 学过

极限 就是 一个 序列 的 指标 越来越 大时

序列 中 元素 如果 无限 趋近 某个 数值

则 称 这个 数是 该 序列 的 极限

啥意思

首先 注意

极限 讨论 的 是 序列 或者 是 函数

所以 严格来说 0.999… 都 是不是 一个 数

而是 一个 序列

只不过 前边 的 项 都 省略 掉 了

比如说 有 这么 一个 序列

第一项 是 0.9 第二项 是 0.99 第三项 是 0.999 以此类推

这个 序列 在 无穷 处 就 会 无限 趋近 于 1

我们 说 这个 序列 的 极限 是 1

注意 序列 不是 数

这 就是 好多 人 说 0.999… 不能 参与 运算 的 原因

但是 极限 是 一个 数 它 可以 运算

那 对于 这个 序列 来说 它 的 极限值 是 等于 1 了

那 它 的 极限 怎么 表示 呢 ？

我们 记做 0.999… 循环

所以 说 0.999…=1

它 表示 的 是 0.999… 这个 序列 的 极限值 是 1

可能 有点 绕 啊

但是 建议 大家 思考 一下 很 重要

其实 严格来说 这 里面 的 等 号 都 不是 你 通常 理解 的 等 号

数学家 太 严谨 了

你 说 无限 趋近 那 什么 叫 无限 趋近 呢 ？

所以 到 了 大学 极限 的 定义 和 高中 就 不 一样 了

到 大学 就 必须 要 解释 什么 叫 无限 趋近 了

咱们 拿 1 和 0.999… 举 例子

如果 对于 任意 的 ε

就是 你 随便 选取 一个 数

我 都 能 在 0.999… 序列 中 找到 某 一项 与 1 做差

使 其 绝对值 小于 ε

这 就 叫做 无限 趋近

此时 则 称 1 是 0.999… 序列 的 极限

再 严谨 点 这 就是 ε-δ 语言 了

学过 高数 的 同学 肯定 不 陌生 了

高数 最 开始 就学 序列 为啥 啊

因为 整个 实 分析 就是 靠 这个 建立 起来 的

咱们 换 一种 表述

如果 你 认为 1 和 0.999… 不 相等

那 它 俩 之间 一定 有 一个 差值 吧

可是 这个 差值 却 不能 用 任何 实数 来 表示

用 数学 语言 来说 就是 1 和 0.999… 的 差值 可以 任意 小

如果 两个 数 的 差值 可以 任意 小

则 这 两个 数 相等

你 随便 找 一本 实 分析 的 书

这 一定 是 通俗 版 的 判断 两个 实数 相等 的 定义

换句话说 这 就是 现在 实数 体系 下 类似 于 公理 一样

不证 自明 的 存在

但是 其实 到 了 柯西 这

这个 问题 并 没有 完全 解决

要 想 证明 它 俩 相等 还是 不够 严谨

差 在 哪 了 呢 ？

谁 说 实数 一定 是 完备 的 呢 ？

啥意思 举个 例子

最早 的 时候 人们 只有 整数 的 概念

你 肯定 认为 1 后面 一定 是 2

这 中间 没有 其他 的 数 了

但是 分数 出现 了

把 这 俩 合 起来 叫做 有理数

然后 人们 又 认为 1 和 2 之间 全部都是 分数

用 分数 就 能 填满 了

这 叫 稠密性

per~ 又 冒出来 个 √2

无理数 又 出现 了

再合 起来 统称 叫做 实数

所以 人们 开始 怀疑 了

怎么 证明 之后 不会 有 其他 数 出现 了 呢 ？

万一 再有 个 张理数 王理数 啥 的

也 就是 如何 证明 实数 是 完备 的 呢 ？

就是 稠密 的 再 插 不 进去 别的 数 了

这件 事儿 就是 柯西 之后 很多 数学家 的 贡献 了

比如说 戴德金 还有 康托尔

所以 一直 到 了 19 世纪 一套 完整 的 实数 体系 才 算是 建立 起来 了

至此 人们 终于 敢 拍胸脯 说

如果 两个 实数 之间 不 存在 任何 数 了

则 这 两个 实数 相等

刚才 咱们 说 了 1 和 0.999… 之间 还有 其他 实数 吗 ？

找 不到

又 因为 实数 是 连续 的 找 不到 就是 没有

所以 它 俩 相等

这 就是 在 现有 的 实数 体系 下 的 证明

换句话说

如果 我们 把 所有 实数 填 到 一个 数轴 上

这个 数轴 就 满 了 没有 无穷小 的 位置

那 自然 无穷小 就 被抛弃了

可是 开篇 咱们 说 了

在 超 实数 中 1 和 0.999… 就 不 相等

啥意思 呢 ？

所谓 超 实数 就是 建立 在 莱布尼茨 对 无穷小 量 的 定义 基础 之上 的

在 超 实数 中 无穷小 就是 一个 数

无穷大 也 是 一个 数

就是 我 把 无穷小 和 无穷大 拓展 到 实数 集里 来

这 就 叫做 非标准 实数 集

强行 插 到 数轴 上来

或者说 是 一个 你 想象 不 出来 的 数轴

那 1 和 0.999… 相差 了 多少 啊 ？

相差 了 无穷小

所以 在 这个 体系 下 它 俩 就 不 相等

有 同学 肯定 要说 了

妈咪 叔 你 一会儿 说 它 俩 相等 一会儿 说 它 俩 不 相等

这 不 矛盾 吗 ？

换句话说

超 实数 和 实数 一个 承认 无穷小 一个 不 承认 无穷小

这 不 矛盾 吗 ？

不 矛盾

数学家 证明 了 只要 实数 系统 是 相容 的

则 超 实数 系统 就是 相容 的

这 就 像是 看 你 采用 哪种 标准

但是 这个 大家 听听 就行

咱们 还 得 接受 在 标准 实数 系中 1 和 0.999… 相等 的 事实

因为 只有 你 承认 了 这 一点

才 算 承认 了 实数 是 完备 的

这 就是 根基

要不然 其他 的 数学 问题 都 没有 意义

好 那 今天 就 聊到 这

可能 这 期 理论 的 东西 太多 了

好多 同学 都 看不到 这 了

但是 我 告诉 大家

如果 大家 想 有 一个 严谨 的 逻辑 缜密 的 思维

一定 要 好好学 数学

数学家 太 较真 了

凭感觉 是 不行 的

你 说 无穷小 那 你 给 个 定义

你 说 无限 趋近 那 你 给 个 定义

给出 定义 才 有 说服力

说 别的 都 没用

我 是 妈咪 叔 一个 较真儿 的 理工 男

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