常数 e为什么 代表 了 自然 ？一次 看 懂 自然 常数 e的 由来
妈咪 说 知识 就是 力量
大家 好
我 是 妈咪 叔
今天 咱们 开篇 先讲 一个 小 故事
说 在 小学 的 时候 咱们 学过 一篇 课文 叫做 最大 的 麦穗
大概 意思 就是说 苏格拉底 和 他 的 弟子 说
说 你 穿过 一片 麦地
然后 只有 一次 机会 而且 不能 回头
那么 你 如何 才 能够 选到 最大 的 麦穗
这个 问题 好像 在 小学 也 没有 一个 明确 的 答案
有 的 人 就 认为 说 我们 就 应该 把握住 机会
看见 最大 的 麦穗 就 应该 把 它 拿下 之后 就 不管 了
有 的 人 就 认为 说 我们 要 沉着 冷静
不 能够 被 眼前 的 利益 所 诱惑
更大 的 麦穗 还 在 后面
你 看 所以 就是 像 一个 哲学 问题 没有 这个 标准答案
这个 问题 在 1949 年 的 时候 被 美国 的 数学家
Merrill M. Flood 重新 提了 出来
Merrill 还是 很 有名 的
他 就是 提出 博弈论 当中 的 囚徒 困境 问题 的 人
他 把 这个 问题 给 改 了
不是 麦穗 了 给 改成 了 未婚妻 问题 他 说 假设 这 人
的 一生 当中 你 能够 遇到 一百个 妹子
然后 这个 妹子 当中 有 可能 有 你 喜欢 的 有 你 不 喜欢 的
所以 这个 问题 就 像是 选 麦穗 问题
你 选择 第几个 人 然后 才 能够 让 你 的 幸福 得到
最大化 呢
马睿 是 这么 处理 的 他 说 人 哪 在 年轻 的 时候 而且
懵懂 无知 你 肯定 会 错过 很多 人 你 可能 很 喜欢
但是 你 也 不会 跟 他 结婚 的 我们 假设 这个 数是 A
也 就是 你 会 跳 过 一个 人 从 A 之后 你 就 幡然醒悟 了 再 去 决定 只要 发现 有 一个 有 眼缘 的 R 感觉
不错 的 你 就要 跟 她 求婚 那 问题 就是 当 A 等于
多少 的 时候 也 就是 你 跳 过 多少 人 然后 发现 一中
人 就 跟 他 这个 求婚
得到 幸福 的 概率 是 最大 的
我 直接 来 揭晓 答案
这个 答案 是 e 分 之一 百
也 就是 跳过 的 比率 是 1/e
这个 数 约等于 37%
也就是说 假设 你 一生 当中 能够 遇到 一百个 人
你 就要 跳过 前 37 个人
从 这 之后 发现 有 眼缘 了 就要 用心 去 追 了
这样 你 就 有 最大 的 几率 获得 最大 的 麦穗
因此 37% 又 被 大家 称作 是 恋爱 中 的 37% 法则
或者 叫做 e 分 之一 法则
咱们 今天 就 来 聊 一聊 自然 常数 e 它 到底 是 个
什么 鬼 呢
在 理科 当中 有 很多 常数
你 像 数学 当中 的 圆周率 π 物理 当中 的 光速 c
化学 当中 的 平衡常数 K
在 所有 的 常数 当中 唯独 自然 常数 e 它 不是 那么 好 理解
比如说 圆周率 π 就是 在 求 圆 的 面积 （ 周长 ） 的 时候 发现 的
光速 c 就是 在 测量 光速 的 时候 得到 的
可是 e 它 是 怎么 来 的 呢
而且 在 所有 的 常数 当中 只有 e 能够 叫做 自然 常数
它 怎么 有 这么 崇高 的 地位
咱们 就 来 探讨 一下 这个 问题
你 看 我们 在 学习 e 是从 哪 开始 的
应该 是从 指数 开始 的
是 学完 了 指数 才学 的 对数
是 吧
指数函数 就是 形如 y=a^x
其中 a>0 且 a 不能 等于 1 对 吧
对数 就是 指数 的 逆运算
比如说 你 10 的 2 次方 等于 100
这是 指数 运算
那 一百 是 十 的 多少 次方
二次方
对 吧
我们 就 可以 记作 log
以十为 底
一百 的 对数 它 等于 2
这 就是 对数 运算
以十为 底 的 对数
我们 叫做 常用对数
可以 简写 成 lg 以二为 底 的 对数 叫做 二进制 对数
可以 简写 成 lb 以 e 为底 的 对数 叫做 自然对数
可以 简写 成 ln 你 看 以十为 底 以二为 底
这 都 比较 好 理解
但是 你 为什么 选择 以 e 为底 还 叫 自然对数
实际上 对数函数 的 出现 要 比 指数函数 的 出现 还要 早
就 刚好 和 我们 教材 当中 讲述 的 顺序 是 相反 的
一般 认为 对数函数 是 数学家 纳皮尔 发明 的
纳皮尔 最 开始 做 了 一个 对数表
为啥 做 这个 表
因为 方便 计算
那个 时候 有 很多 天文学 的 问题 都 是 大数 相乘
就 两个 数都 特别 大
所以 计算 起来 就 特别 麻烦
纳皮尔 就 发明 了 一种 对数 的 计算 法
通过 查表 就 可以 化简 乘法 运算
这是 对数 的 故事
咱们 这 就 不 细说 了
感兴趣 同学 可以 去查 一下 也 很 有趣
那 指数函数 是 怎么 来 的 呢 ？ 这个 和 这个 常数 e 就 有 很大 关系 了
说 1683 年 的 时候 数学家 雅各布 伯努利
这个 人 咱们 之前 说 过 和 他 弟弟 约翰 伯努利
争来争 去 那个
他 的 弟弟 约翰 伯努利 就是 欧拉 的 老师
你 看 这 不 就 都 连 上 了 吗 这个 人 他 就 很 喜欢 研究 问题
有 一天 他 就 研究 到 了 复利 的 问题
什么 是 复利 呢
比如说 你 在 银行 里 存钱
你 在 银行 里存 了 A 元 钱
然后 银行 给 你 发放 的 利息 是 这么 发放 的
说 在 年终 的 时候 一次性 给 你 发放 百分之百 的 利息
那 就是 你 A 元钱 存到 年底 就 变成 了 2A 了 对 吧
现在 银行 改 套路 了
说 我 不 这么 发了
我 每半年 给 你 一次 利息
自然 利率 就要 减半
要不然 不 就 给 你 多 了
利率 就 变成 了 50%
你 的 本金 A 在 第一个 半年 的 时候
你 得到 的 本息 之 和 就是 A 倍 的 1 加上 50%
这是 第一个 半年 得到 的 本息 之 和
然后 下 一个 半年 又 给 你 发 50% 的 利息
但是 这个 利息 是 以 谁 作为 本金 的 呢 ？
是 以 它 作为 本金 了
所以 这个 时候 你 的 本金 就 已经 比 A 大 了
对 吧
那 也 就是 第二个 半年 给 你 发 的 就要 用 本金 乘以
一个 1 再 加上 50%
也 就是 A 倍 的 1+50% 的 平方
假设 银行 又 改 套路 了
现在 是 每季度 给 你 发 一次 利息
利息 就 变成 了 25% 分 四次 发给你
第一次 就是 A 乘以 一个 1+25%
然后 他 又 变成 了 本金
第二季度 给 你 的 就是 再 乘以 一个 1+25%
这样 一直 称 结果 就是 A 倍 的 1+25%
它 的 四次 方
我们 假设 银行 它 每时每刻 都 给 你 利息
也 就是 我 把 一年 分成 N 份 给 你 N 次 利息
然后 利率 就要 变成 N 分 之一
这个 问题 就 可以 表述 成 A 倍 的 1 加上 N 分 之一
这是 利率 它 的 N 次方
当 N 趋近 于 无穷大 的 时候
这个 式子 就是 你 最后 获得 的 本息 之 和
我们 把 它 除以 一个 a
你 也 就 能够 算出 我 这笔 钱存 到 银行 里 之后
能够 翻 出 多少倍
那 倍数 就 可以 表示 为 1 加上 N 分 之一 它 的 N 次
方当 N 趋近 于 无穷大 的 时候
1683 年 雅各布 伯努利 就是 通过 研究 复利
问题 得出 了 这个 式子
他 就 发现 这个 式子 当 N 趋近 无穷大 的 时候
结果 会 收敛 到 一个 无限 不 循环小数
它 约等于 2.71828……
后边 还有 很多
他 后来 有人 把 这个 数给 它 写成 了 B 再 到 后来 这
欧拉 大神 就 出现 了
他 就 说 你 这个 式子 等于 1 个 常数
他 挺 好 的
但是 你 不够 一般 话 就是 你 利率
其实 这里 边 的 1 实际上 就是 利率 之 和
他 是 百分之百
为什么 非得 是 百分之百 呢 ？
别的 行不行
或者 干脆 我 就 把 它 换成 X 于是 这个 式子 就 变成 了 这样
就是 一 加上 N 分 之 X 他 的 N 次方
当 N 趋近 于 无穷大 的 时候 这 就 变成 了 一个 函数
但 这个 函数 欧拉 没有 用 f(x ) 表示 我们 一般 用 f(x)
表示 是因为 这个 F 代表 的 是 function
就是 英文 函数 它 的 首字母 欧拉 用 了 其他 的 表达方式
他 把 这个 函数 起名叫 做 exp 这 exp 就是 指数 的 意思
这个 式子 就是 指数函数 最早 的 定义
你 说 这 不 对
这 指数函数 这 不是 a 的 X 次方
这 也 不是 这种 形式
咱们 看 我 把 N 给 它 除以 一个 X 再 乘以 一个 X
这 对 结果 是 没有 影响 的
对 吧
他 是不是 就 等于
你 看 这里 边 是 啥
这 不 就是 雅各布 伯努利 发现 的 常数 嘛
欧拉 说 得 了
你 也 别用 b 了
干脆 就 用 一个 e 吧
于是 exp(x) 这个 函数 它 就 变成 了 e^x
所以 最早 的 指数函数 就是指 以 e 为底 的 指数函数
没有 以 2 为底
以 10 为底
这是 后来 拓展 出来 的
当然 有人 说 是 笛卡尔 最先 发明 的 指数
我 个人 觉得 从 欧拉 开始 才 能够 叫做 指数函数
现在 我们 要说 指数函数 一般 就 默认 指 的 就是
以 e 为底 的 指数函数
在 高数 和 物理 当中 你 经常 会 遇到 exp(x) 的 形式
这样 写 起来 也 方便
从 这 开始 e 才 算是 真正 的 变成 了 一个 常数
它 的 定义 就是 这个 式子
我 再 抄 一遍 这个 式子
就是 e 的 定义 式
或者 我们 可以 把 e 写成 什么
写成 exp(1)
就 当 X 取值 为 一 的 时候 就是 exp(1) 因此 这个 e
也 被 人们 称作 是 欧拉 常数
还有 人 为了 纪念 纳皮尔
把 它 称作 是 纳皮尔 常数
我们 回过头来 再 来看 复利 的 例子
这个 式子 它 确实 是 给 了 我们 E 的 数值
但是 它 貌似 并 没有 给 我们 e 的 含义
e 到底 是 表示 啥
他 就 表示 了 某种 增长 倍数 的 极限
就 比如说 一块钱 你 存到 银行 里
假设 给 你 百分之百 的 连续 复利
到 了 年终 你 也 最 多 就 只 能够 拿到 e 元 钱
恰好 复利 的 这种 增长 方式 和 自然 是 很 相似 的
你 看 啥 叫 复利
说白了 就是 利滚利
自然 当中 物种 的 繁衍 也 是 一样
你 看 一个 生物 她 生 了 孩子 她 生 的 这个 孩子 也 是
可以 继续 生 孩子 的
这 不 就是 利滚利 嘛
所以 说 自然 常数 E 是 最 符合 自然 的 一个 常数
当然 e 的 神奇 之 处 我们 恐怕 说 一天 也 说不完
我 简单 再 给 大家 举 几个 小 例子
比如说 二 开平方 是 多少
就是 根号 二对 吧
约等于 1.414
三 开立方 大概 约等于 1.442
请问 x 开 x 次方 这个 函数 的 最大值 在 哪
就是 在 e 这 也就是说 在 所有 的 自然数 当中 你 只有
e 开 e 次方
这个 数是 最大 的
其他 的 都 要 比 这个 小
不信 你 可以 用 计算器 试一下
还有 e 可以 写成 下列 无穷 级数 的 和
所以 我们 也 可以 用 这种 方式 来 定义 自然 常数 e
实际上 这种 方式 和 刚才 的 极限法 的 定义 它 是 等价 的
再 比如说 螺线 螺线 有 很 多种
不过 自然界 当中 最 常见 的 螺线 就是 海螺 身上 的 线 呗
这种 螺线 又 叫做 等角 螺线
它 的 方程 就是 r 等于 a 倍 的 e 的 bc 次方
当然 这 是 在 极坐标 下 你 看 又 和 e 有关
关于 等角 螺线 有 一个 很 有趣 的 故事
等角 轴线 最 开始 是 笛卡尔 先 发现 的
然后 后来 雅各布 伯努利 对 它 有 很 深 的 研究
他 就 发现 这里 边 就 充满 了 自然 的 美感
于是 雅各布 伯努利 在 临终 的 时候 它 就 要求 说 我
要 在 我 的 墓碑 上刻 上 一个 等角 螺线
并且 加上 一句 话 就是 纵使 改变 依然故我
你 看 多 有 诗意 结果 雕刻师 不 知道 给刻 错 了
把 等 角 螺线 刻成 阿基米德 螺线 了
阿基米德 螺线 又 叫作 等速 螺线
这 两个 螺线 还是 不 一样 的
你 一眼 就 能 看出 区别
不过 雕刻师 也 不 知道
所以 他 就 刻错 了
咱们 接着 说 e 我们 都 知道 计算机 使用 的 是
二进制 对 吧
但是 你 有没有 好奇 过 为啥 非要 用 二进制
我用 三 进制 四 进制 行不行
实际上 理论 计算出来 的 值 应该 是 e 进制 效率 是 最高 的
什么 叫做 效率 最高
你 比如说 二进制 数 一个 n 位 的 二进制 数它 能够
表示 多少 个数 呢
假设 这是 n 位 每个 上面 都 有 可能 有 0 或者 是 1
n 位 的 二进制 数 就 可以 表示 二 的 n 次方 个数
对 吧
我们 记作 m 但是 你 为了 表示 这么 多个 数
你 一共 得 需要 多少 种 状态 呢
比方说 这 第一位 它 就是 两种 状态
01
第二位 也 是 01
假设 总共 他 的 状态 数是 s 它 就 应该 是 2n 个 状态
对 吧
我们 现在 把 二进制 给 它 替换 掉
给 它 换成 更 一般 的
比方说 r 进制 n 位 的 r 进制 数
它 就 能够 表示 r 的 n 次方 个数
然后 他 一共 需要 多少 个 状态 就是 rn 个 状态 对 吧
我们 定义 一个 效率
效率 就是说 我 为了 表示 m 个数
这个 数是 一个 定值
我 应该 使用 几 进制
r 是 多少 才 能够 使 所有 的 状态 就是 s 它 的 值
达到 最小 呢
这 也 就是 所谓 的 效率 最高
我们 把 这个 式子 先给 它 化简 一下
两边 同时 取 对数
也 就 变成 了 ln(m) 等于 n 倍 的 ln(r)
然后 我们 把 m 给 它 当做 常数
找到 一个 s 关于 r 的 函数
然后 看 这个 函数 的 最小值 不 就 得 了 吗
我们 就 通过 这个 式子 把 这里 边 的 n 给 它 替换 掉
n 就 等于 ln(m)/ln(r) 对 吧
s 的 函数 找到 了
ln(m) 是 一个 常数
所以 我们 关心 的 就是 r/ln(r)
它 的 曲线 是 什么样 的
它 的 最小值 在 哪
你 也 可以 通过 求导 的 办法
结果 你 会 发现 在 e 的 时候
这个 函数 的 导数 是 等于 0 的
也 就是 在 e 的 时候 这个 函数 具有 最小值
所以 理论 上 来讲 e 进制 它 的 效率 是 最高 的
而且 你 计算 也 会 发现 三 进制 它 的 效率 也 会 比
二进制 的 效率 要 高
你 说 为啥 现在 都 是 二进制
因为 实现 起来 比较 方便
你 看 逻辑电路 当中 高电平 它 就 代表 个 一 低电平
就 代表 个 零
就 这 两种 状态 很 方便
但是 实际上 三 进制 电脑 俄罗斯 曾经 研究 过
后来 就 因为 种种原因 也 没有经费 了
然后 就 没有 继续 做 下去
你 看 e 不愧 是 称作 自然 常数 吧
关于 e 有趣 的 事实 在 是 太多太多 了
咱们 今天 就 先聊 到 这
希望 大家 能够 对 e 有 一个 新 的 认识
我 是 妈咪 叔
一个 较 真的 理工 男
下期 见
拜拜
