什么 是 公平 ？ 如何 分配 利益 才能 大家 都 满意 ？ 李永乐 老师 讲切 蛋糕 问题 (2) What is fairness? How to distribute benefits so that everyone is satisfied? Teacher Li Yongle talks about cake cutting (2)

每 一個 誠實 的 人 都 是 有利 的

所以 他們 都 應該 是 吧

誠實 地 表達 自己 的 想法

但是 公平 的 方案 不 一定 會 讓 所有人 都 滿意

為什 麽 呢

說 每個 人 都 拿到 了 超過 1/3 的 蛋糕

難道 還不 滿意 嗎

的確如此

為什 麽 咱們 看 一下

對於 C 來講 他 肯定 很 滿意

因為 自己 拿到 了 11/20 的 部分 對 不 對

而 A 只 拿到 了 1/5 B 只 拿到 了 1/4

所以 C 是 最 滿意 的

那 麽 對於 B 來講

A 拿到 這塊 蛋糕 只值 1/4 的 價值 對 吧

而 B 自己 拿到 的 蛋糕 值 3/8

C 拿到 的 蛋糕 值 多少錢 值 3/8 對 吧

因為 你 還剩 了 一塊 不 就是 3/8 嗎

所以 B 感覺 自己 跟 C 是 平等 的

那 既然 平等 的 他 也 沒有 什 麽 不爽

所以 說 C 和 B 這 兩個 人 都 高興

但 問題 是 咱們 再 看 一下 A

A 他 自己 拿 了 1/3

然後 他 覺得 B 這 一份 蛋糕 也 不值錢

他 B 這份 蛋糕 可能 只值 1/4

但是 這樣一來 的話

前 兩個 蛋糕 加 起來 一共 只有 7/12

C 這塊 蛋糕 值 5/12 他 心裏 就 不 高興 了

為什 麽 呢

你 想 我 拿 1/3 對 吧 我 是 公平 的

B 拿 1/4 B 活該 不管 他

但是 C 居然 拿 了 5/12

他 怎 麽 拿 的 比 我 還多 呢

所以 他會 產生 一種 什 麽 心理 嫉妒 心理

這樣一來 A 是 不 高興 的

A 不 高興 怎 麽 辦

舉報 他 對 不 對

就 說 我 現在 的 分配 方案 不 公平

憑什 麽 C 拿 的 比 我 多 對 不 對

雖然 我 拿 的 也 挺 多 我 也 超過 1/3 了

但是 我 還是 不 高興

因為 C 拿 的 比 我 多 對 吧

這就 叫 什 麽 這就 叫 有 嫉妒

在 數學 上 我們 稱之為 有 嫉妒

雖然 我們 是 公平 的

就是 每 一個 人 都 拿到 了 超過 1/3 的 份額

但是 有人 拿 的 比 我 還多 這就 不行

是 吧 就 叫 有 嫉妒

其實 這種 事兒 在生活中 還是 挺 多 的

比如說 我們 經常 聽說 一個 詞兒 叫 分贓不均

就 幾個 人 合夥 去 搶劫

搶劫 完 了 之後 都 有 很多 錢 了

本來 可以 拿 這些 錢 瀟灑 過日子 了

結果 他們 就 互相 殺 對 吧

為什 麽 呢

因為 他們 覺得 自己 拿少 了 是不是 ||||got less||

事實上 每 一個 人 都 已經 拿到 了

超過 自己 預期 的 這個 值

但 他們 看到 別人 比 自己 拿 的 多 還是 不 高興

這就 叫 有 嫉妒 的 一種 分配 方案

我們 看 一些 反貪 劇的 時候 發現 有些 領導 幹部

他們 互相 舉報

最後 這個 紀委 一查

你們 全都 有 問題 一起 抓 起來

為什 麽 會 出現 這種 情況 呢

因為 雖然 我 也 貪 了

但是 你 貪 的 比 我 多

所以 我 就 嫉妒 你 對 不 對

這是 一種 有 嫉妒 的 方案

所以 在 這種 情況 下

盡管 數學 意義 上講 是 公平 的

但 依然 不是 最好 的

因為 所有人 都 不 滿意

那 怎 麽 辦 呢

我們 要 想 一個 辦法

就是 有沒有 一種 無 嫉妒 的 方案

這個 無 嫉妒 的 切 蛋糕 方法 是 什 麽 呢

就是 每 一個 人 不光 要 超過 1/N

而且 每個 人 都 要 覺得

每個 人 都 覺得 自己 拿 的 最 多

如果 每個 人 都 覺得 自己 拿 的 最 多

他 不 就 不再 去 嫉妒 其他人 了 嗎

這種 分配 蛋糕 的 方法

就 叫 無 嫉妒 的 分配 蛋糕 方法

那 我們 要 說明

剛才 這種 兩個 人 我切 你 選 的 方法

就是 無 嫉妒 的

A 沒有 嫉妒 為什 麽

因為 A 是 你 切 的

兩塊 都 完全 一樣 你 拿 哪塊 都行

B 也 沒有 嫉妒 為什 麽

因為 你 先選 你 先選 你 肯定 選好 的

所以 你 賴不著 別人

但是 這種 三人分 的 移動 刀法

不是 一個 無 嫉妒 的 方案

那 麽 如果 是 三個 人分 蛋糕

還是 三人分 蛋糕

有沒有 什 麽 無 嫉妒 的 方案 呢

在 1960 年代 有 兩個 數學家

一個 叫做 塞爾 福 裏奇

一個 叫 塞爾 福 裏奇

還有 一個 人 叫 康威 ||||Conway

他們 這 兩個 人想 了 一種 方案

通過 這種 方案

就是 可以 讓 每 一個 人 都 沒有話說

每個 人 都 覺得 自己 拿到 的 是 最 多 的

具體來講 是 什 麽 方案 呢

首先 第一個 步驟 有 三個 人 A B C

我們 先 讓 A 切 蛋糕 A 切 蛋糕

然後 切完 了 之後 B 和 C 讓 他們 先選

B 和 C 先選

選完 了 之後 再 讓 A 去 選 A 後 選

在 這種 情況 下

如果 B 和 C 要是 選 的 蛋糕 不 一樣

B 和 C 選擇 如果 不同 那 就 好辦 了

如果 選擇 不同

我們 後面 就 什 麽 都 不 需要 做

A 只要 拿 剩下 的 那個 就 可以 了

所有人 都 會 非常 滿意

為什 麽 呢 咱們 仔細 看

假如 這是 一塊 蛋糕

A 要 把 它 切成 三塊

但是 我們 A 知道 的 說 A 是後選 的

所以 他 為 了 防止 別人 拿到 好 的 怎 麽 辦

他 一定 會 把 這 三個 蛋糕 誠實 地 分成 三份

所以 對於 A 來講

這 三份 的 效用 都 是 1/3 都 是 1/3

他 拿 哪塊 其實 都 無所謂

然後 B 和 C 就 開始 選 了

比如說 B 認為 第一塊 只值 1/4

第二塊 值 1/2

第三塊 值 1/4

所以 B 可能 拿 最大 的

B 就 拿 這 一塊 是不是

這 一塊 就給 B 了

B 拿到 最大 的

C 呢 C 反過來 他 覺得 好像 第三塊 更好

那 於是 C 就 拿 最後 的 這 一塊

這個 時候 B 和 C 都 感覺 自己 賺 了

A 呢 A 就 拿 剩下 的 這個 唄

他 也 無所謂

因為 是 他切 的 蛋糕 ||he cut||

他 三個 蛋糕 都 一樣 拿 哪個 都行

所以 如果 B 和 C 選擇 不同

那 麽 這個 方案 就 解決 了

我們 就 不用 管 了

那 麽 關鍵 的 問題 在於

如果 B 和 C 都 看 上 了 一塊 怎 麽 辦

B 和 C 選擇 了 相同 的 一塊

那 麽 這個 問題 就 會 變得 比較 復 雜了

我們 來看 你 看 A 分成 三塊 的 時候

在 他 的 感覺 上 三塊 是 一樣 大 的

但是 B 和 C 的 視角 看來 可能 並 不是 這樣 的

比如說 這個 B 感覺 第一塊 比較 小

第二塊 其次 第三塊 是 最大 的

他 可能 有 這種 感覺

那 在 這種 情況 下 你 讓 他 選 他選 第三塊

同樣 的 C 也 這 麽 覺得

他 覺得 第三塊 最大

那 這個 時候 B 和 C 都 去 想 第三塊

我們 的 操作 就 稍微 復 雜 一點

怎 麽 做 呢

我們 首先 幹 這 麽 一件 事

B 和 C 你 不 都 搶 第三塊 嗎

然後 你 B 幹 一件 事

你 切割 一下

你 切割 最大 的 那 一塊 最大 的 塊

切到 什 麽 程度 呢

使 之 和 第二 大 的 塊

使 之 與 第二 大 的 塊 一樣

就是說 你 看

你 B 和 C 不 都 覺得 最後 一塊 大嘛 對 不 對 |||||||||big one|||

然後 你 B 就 幹 一件 事

你 從 最後 這個 最大 的 這 一塊 上 你 切下來 一條

切下來 一條 之後

那 原來 的 這個 叫做 x y z

你 覺得 z 比 y 大

那 你 切下來 一條

讓 這個 變成 是 z'

這個 z' 你 讓 它 和 y 一樣 大

這就 使得 最大 那 一塊

變成 跟 第二 大 的 塊 一樣 大 了

然後 你 多 出來 這 一條 叫 Δz

你 先 把 它 放 一邊 去 對 吧

我們 為什 麽 要 這 麽 幹 呢

這就 類似 於 我們 在 新聞 上 聽到 過 這樣 的 消息

說 有 兩個 人 跑 到 了 4S店 去 買車

結果 兩個 人 都 看中 了 那個 最新款 的車

都 看中 了 搶 爭執不下

結果 有 一個 人 上去 就 猛 踢 了 這個 車 一腳

結果 把 這個 車門 給 踢進去 了

踢 完 了 之後 說 說 這 新車 你 還要 不要

你 要是 要 我還 繼續 踢 是不是

意思 是 咱們 兩個 不 都 是 搶 這個 z 嗎

那 我 現在 就切 一刀

切到 什 麽 程度 呢

切到 跟 第二塊 一樣 大

現在 你 選 吧 對 不 對

好 我們 下面 就 開始 選

怎 麽 選 呢

我們 讓 C 先選 然後 B 其次

B 選完 了 之後 最後 A 我們 再選

按照 這樣 的 一個 順序 去 選 就行了

那 麽 大家 註 意

C 先選 的 時候

它 有 可能 會 去 選 這個 被 切過 之後 的 這個 z'

它 也 有 可能 不選 這個 z'

但是 如果 要是 C 不選 這個 z' 的話

B 就 必須 得選 這個 z'

就 好像 說 你 上去 踢 了 人家 新車 一腳

如果 跟 你 競爭 的 那個 人 沒有 買 這輛 車

那 你 自己 自己 必須 把 這輛 車 買下來 對 不 對

你 不能 踢 完 了 白 踢 吧 是不是

所以 我們 有 一個 規則

如果 C 未選 z' 的話

那 B 就 必須 選 z'

好 現在 按照 這套 規則

A B C 三個 人 就 會 認為

自己 在 這 一輪 中 都 是 最 合算 的

為什 麽 呢

咱們 仔細 想一想 現在 一共 有 三塊

一個 是 x 這塊 蛋糕

一個 是 y 這塊 蛋糕

還有 一個 是 z' 這塊 蛋糕

大家 註 意 Δz 我們 先 不管

就是 x y 和 z'

因為 C 是 先選 的

所以 他 一定 會 覺得 自己 是 最 賺 的

他 不會 嫉妒 別人 對 吧

那 我們 再 看 B

B 它 最 開始 在 切割 這個 蛋糕 的 時候

他 就 把 z 切成 了 跟 第二塊 y 一樣 大 的 z'

所以 對 他 來講 y 和 z' 是 一樣 大 的

你 C 是 先選 了

但是 你 不 可能 把 兩塊 大 的 全都 選走 吧

你 要是 選 了 y 我 就 拿 z'

你 要是 選 了 z' 我 就 拿 y

對 我 來講 沒有 損失

而 x 是 小 的

所以 在 這 一輪 上 我 也 不會 嫉妒 別人

我 也 是 最好 的

那 麽 對於 A 來講

A 最 開始 把 蛋糕 分成 三塊 x y 和 z

大家 註 意 這個 z 變成 了 z'

A 感覺 z' 比較 小 他 不想 選 這 z'

不過 沒 有關 系 z' 絕對 不會 留給 A 的

為什 麽 呢

因為 要不然 就是 C 選 z'

C 如果 沒有 選 z' B 就 一定 要選 z'

這是 規矩 對 吧

這是 規矩

所以 這樣一來 呢

A 拿到 的 一定 是 x 或者 y 其中 的 一個

A 感覺 自己 拿到 了 1/3

A 不 感覺 到 自己 虧了 還是 最 賺 的

這樣一來 三個 人 都 感覺 到 自己 是 最 賺 的

因此 不會 嫉妒 別人 對 不 對

當然 這裏 還有 一個 細節

比如說 B 為什 麽 切 這 一刀 就 剛剛 好

使得 z' 和 y 相等 呢

這個 大家 可以 考慮一下

因為 B 如果 不 這 麽 幹 的話

他 都 會 受到 損失

這裏 我們 不 仔細 解釋 了

好 那 麽 最後 還剩 了 一塊 Δz

這個 Δz 該 怎 麽 去 分割 呢

我們 再 來說 分割 這個 Δz 的 方法

如果 是 C 選 了 z'

我們 先 假設 這種 情況

如果 是 C 選 了 z'

C 把 這個 B 切割 之後

剩下 的 這 一塊 z' 給選 走 了

那 B 就 一定 會選 y 是 吧

那 A 就是 選 x 了

這種 情況 下

他們 怎 麽 去 分 這個 最後 的 這個 Δz 呢

此時 我們 這 麽 幹

我們 讓 B 將 Δz 再 分成 三份 分成 三份

然後 按照 C A B 的 順序 進行 選擇

什 麽 意思

你 剛才 不是 切 了 這 一條 嗎

這 一條 叫 Δz 對 不 對