Μαθηματικά | Διαίρεση κλασμάτων | Ε' Δημοτικού Επ. 146
Γεια σας, παιδιά.
Ονομάζομαι Λεωνίδας Μπανάκος
και μαζί θα κάνουμε Μαθηματικά.
Σήμερα θα κάνουμε διαίρεση κλασμάτων.
Να θυμηθούμε λίγο τη διαίρεση των φυσικών αριθμών.
Πάμε να κάνουμε τη διαίρεση 36:9.
36 : 9 = 4.
Η διαίρεση αυτή δεν αφήνει υπόλοιπο, είμαστε μια χαρά.
Χωρίζουμε το 36 σε 9 ίσα μέρη,
καθένα από αυτά θα έχει 4.
Πάμε να κάνουμε τη διαίρεση 46 : 9.
Εδώ μπορούμε και την κάνουμε και με το μυαλό.
Ποια είναι η διαδικασία όμως όταν κάνουμε διαίρεση;
Είχαμε δει ότι ο πολλαπλασιασμός είναι διαδοχικές προσθέσεις.
5 Χ 3 είναι 3 + 3 + 3 + 3 + 3.
3 Χ 7 είναι 7 + 7 + 7.
Για να δούμε ποια είναι η διαδικασία με την οποία καταλήγουμε.
46 : 9 =
46 - 9 = ... , τι θα μείνει;
37.
37 - 9 = ...
Θα μείνουνε 28.
28 - 9 = ...
28 - 9 = 19.
19 - 9 = ...
Θα μείνουν 10. 10 - 9 =...
Και μένει 1.
Πόσες φορές λοιπόν έβγαλα το 9;
5 φορές.
Αυτή είναι η διαδικασία που γίνεται και δεν φαίνεται,
όταν κάνω τη διαίρεση.
Προφανώς δεν καθόμαστε να κάνουμε αυτή τη διαδικασία κάθε φορά.
Όταν έχουμε να κάνουμε μια διαίρεση,
ειδικότερα όταν έχουμε και πολύ μεγάλους αριθμούς,
ξεκινάμε με το γνωστό σχήμα.
Εδώ είναι ο διαιρετέος και ο διαιρέτης.
Εδώ θα βάλουμε το πηλίκο.
Και εδώ το τυχόν υπόλοιπο που μπορεί να μας μείνει.
Εδώ έχουμε πει ότι χρησιμοποιούμε τους νοερούς συλλογισμούς,
γιατί μας βοηθούν στη βαθύτερη κατανόηση.
Επειδή το 318 είναι άρτιος αριθμός,
διαιρείται ακριβώς με το 2,
ξέρω εκ των προτέρων πριν να εκτελέσω τη διαδικασία,
ότι δεν θα έχω υπόλοιπο.
Βλέπουμε λοιπόν ένα παράδειγμα όπου μας βοηθούν οι νοεροί υπολογισμοί
για να αντιλαμβανόμαστε καλύτερα τα Μαθηματικά.
Όλα αυτά στους φυσικούς αριθμούς είναι πιο κατανοητά.
Είναι πιο εύκολα.
Σήμερα θα προσπαθήσουμε...
...να μιλήσουμε, να κατανοήσουμε τι σημαίνει
αυτό που έχουμε γράψει στον πίνακα.
1/3 : 1/4 = ...
Να το δούμε και διαισθητικά και μετά να δούμε τους κανόνες μας,
να γράψουμε τις διαδικασίες τις οποίες θα τις εκτελούμε βήμα - βήμα
για να βρίσκουμε γρήγορα το αποτέλεσμα.
Αλλά πριν από αυτό, που θα είναι ένα βοηθητικό εργαλείο στο τέλος,
θα πρέπει να έχουμε κατανοήσει.
Ας πούμε δυο - τρία πράγματα
για αυτές τις διαδικασίες ή τους τύπους.
Εκ των προτέρων ας τα πούμε για να τα έχουμε στο μυαλό μας μετά.
(Ο δάσκαλος διαβάζει την κουκκίδα αριστερά)
Προφανώς το 'χουμε ξανακάνει,
σε κάποιες άλλες περιπτώσεις όταν έχουμε ετερώνυμα κλάσματα,
μια εύκολη διαδικασία είναι να τα μετατρέψουμε πρώτα σε ομώνυμα
και μετά να εκτελέσουμε τη διαδικασία,
να κάνουμε τη διαίρεση.
Ας κάνουμε μία διερεύνηση...
...σε μια προβληματική κατάσταση πραγματική στην τάξη.
Τα παιδιά, τα παιδιά της παρέας μας,
ο Αντρέι, η Δανάη και η Αγγελική,
από τα χαρτόνια που χρησιμοποιούσαν,
είτε για να φτιάξουν προσκλήσεις είτε για να φτιάξουν ετικέτες,
τους έχουν περισσέψει κάποια χαρτόνια.
Ο Αντρέι λοιπόν από ένα χαρτόνι
που ήταν τα 2/3 του αρχικού,
όχι ολόκληρο το χαρτόνι,
είχε ένα κομμάτι,
έφτιαξε κάποιες ταμπέλες για κάποια εργασία.
Η εργασία μπορεί να ήταν να έφτιαχναν τον τοπικό τους χάρτη,
και να ήθελαν να βάλουν πάνω τα σημεία που βάζουμε σ' έναν χάρτη,
Νοσοκομείο, Εκκλησία, Φαρμακείο.
Όταν φτιάχνουμε έναν τοπικό χάρτη βάζουμε τα σημεία της περιοχής.
Για κάθε τέτοια ταμπέλα χρησιμοποίησε το 1/6 του χαρτονιού.
Του χαρτονιού των 2/3, του υπολείμματος του χαρτονιού.
Το ερώτημα είναι πόσες τέτοιες ταμπέλες θα φτιάξει ο Αντρέι.
Δηλαδή πόσες φορές χωράει το 1/6 στα 2/3;
Έχει ενα χαρτόνι που δεν είναι ολόκληρο,
θα φτιάξει ταμπέλες που κάθε μία θα είναι το 1/6,
και θέλει να δει πόσες θα φτιάξει.
Είπαμε πριν για τους κανόνες.
Πριν πάμε σε έναν κανόνα που λέει ότι αντιστρέφουμε το κλάσμα
και κάνουμε αντί για διαίρεση πολλαπλασιασμό,
όπου είναι ένας κανόνας ο οποίος μας βοηθάει να κάνουμε την πράξη,
αλλά δεν μας βοηθάει στο να κατανοήσουμε τι κάνουμε.
Για να δούμε μήπως μπορούμε αυτό τον συλλογισμό που θα κάνουμε
και μας δυσκολεύει με αυτά τα κλάσματα,
να φτιάξουμε ισοδύναμα κλάσματα για το καθένα, που θα είναι μεταξύ τους ομώνυμα.
Εδώ δεν χρειάζεται να χρησιμοποιήσω και τα δύο.
Γιατί βλέπουμε ότι τα 2/3 μπορώ να τα κάνω...
2 Χ 2, 3 Χ 2...
...και να γίνει 4/6.
Και έτσι λοιπόν θα έχω...
4/6 : 1/6 = ...
Μετασχημάτισα το αρχικό μου πρόβλημα.
Είχα πόσες φορές χωράει το 1/6 στα 2/3.
Το μετασχημάτισα και το ερώτημα είναι πόσες φορές χωράει το 1/6 στα 4/6.
Εδώ την απάντηση μπορώ να την δώσω εύκολα και χωρίς καν...
...να σκεφτώ πάρα πολύ.
Αυτό είναι το 1/6 και έχω 4/6.
Πόσες φορές χωράει το 1/6 στα 4/6;
Προφανώς 4 φορές.
Άρα το 1/6 χωράει στα 4/6 τέσσερις φορές.
Ας δούμε τώρα και κάποιες διαιρέσεις...
...και να τις συζητήσουμε μαζί.
3/4 : 4/5 =...
Να ξεκινήσουμε διαισθητικά.
Πόσες φορές χωράει το 4/5 στα 3/4;
Τα 3/4...
...το 1/4 είναι αυτό το κομμάτι,
και το 1/5 είναι αυτό.
Τα 4/5, έχουμε δει από τη σύγκριση κλασμάτων,
επειδή λείπει μικρότερο κομμάτι για να πλησιάσει στο 1,
είναι μεγαλύτερο.
Άρα λοιπόν μια υπόθεση που θα κάνω, ένας συλλογισμός,
είναι ότι τα 4/5 δεν μπορεί να χωράει ολόκληρη φορά στα 3/4, εφόσον είναι μεγαλύτερο.
Άρα περιμένω το αποτέλεσμα της πράξης μου
να είναι ένα κλάσμα μικρότερο της μονάδας.
Για να εφαρμόσω λοιπόν...
...τη διαδικασία με τα ομώνυμα για να καταλήξω.
Αντί να κάνω αυτή τη διαίρεση,
θα φτιάξω ισοδύναμα κλάσματα για το καθένα,
που θα είναι μεταξύ τους ομώνυμα.
Βλέπω λοιπόν ότι το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο
των παρονομαστών, του 4 και του 5,
είναι το 20. Άρα το πρώτο κλάσμα...
Το 4 για να γίνει 20 πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 5,
άρα και το 3 με το 5.
Το 5 πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το 4 για να γίνει 20,
άρα και το 4 με το 4.
Έχω λοιπόν να διαιρέσω τα 15/20...
...με τα 16/20.
Βλέπουμε λοιπόν ότι...
...τώρα που είναι ομώνυμα φαίνεται καθαρότερα,
ότι το δεύτερο κλάσμα είναι μεγαλύτερο.
Τα 16/20 δεν μπορεί να χωράνε ολόκληρη φορά.
Έπρεπε αυτό να είναι τουλάχιστον 16/20 και αυτό.
Ή 17/20, 18/20, 19/20, 20/20 που είναι η ακέραια ποσότητα.
Είπαμε λοιπόν ότι διαιρούμε τους αριθμητές τους, άρα...
...είναι 15/16, που είναι ένα κλάσμα μικρότερο από τη μονάδα.
Η επόμενη διαίρεση είναι 3/2 : 2/3 = ...
Το 3/2 είναι μεγαλύτερο...
Είναι μια ποσότητα...
Είναι 1/2 και 1/2...
... και άλλο 1/2.
Και τα 2/3 είναι αυτό...
...και το γνωστό μας από τα δωδέκατα, 2/3.
Τα 2/3...
...χωράνε στα 3/2 προφανώς παραπάνω από μία φορές και θα δούμε.
Γιατί ένα κομμάτι μπορεί να είναι αυτό.
Άλλο ένα κομμάτι είναι αυτό.
Άρα λοιπόν...
...ξέρουμε ότι χωράνε σίγουρα μία φορά και παραπάνω. Ας το επαληθεύσουμε.
Ας το επαληθεύσουμε.
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο του 2 και του 3
είναι το 6.
Το 3/2...
Επί 3 για να γίνει 6 (ο παρονομαστής).
Επί 3 και ο αριθμητής.
Και το 2 επί 2,
αφού το 3 για να γίνει 6 θα γίνει κι αυτό επί 2.
Έτσι λοιπόν έχουμε τα αντίστοιχα κλάσματα
9/6 και 4/6.
Το 4/6 στο 9/6...
Το 4/6 είναι...
...μικρότερο από την ακέραια μονάδα.
Το 9/6 είναι μεγαλύτερο από την ακέραια μονάδα.
Χωράει... 4/6 και 8/6 και 4 ακόμα...
Για να δούμε το αποτέλεσμα.
Είναι 9/4. Θα μας επαληθεύσει ότι χωράει παραπάνω από 2 φορές;
4/6 + 4/6 = 8/6. Εδώ έχουμε 9/6.
Το κλάσμα που είναι μεγαλύτερο από την ακέραιη ποσότητα
είναι 2 και 1/4.
Άρα λοιπόν κάνοντας νοερούς συλλογισμούς,
έχω ήδη κατανοήσει τι ακριβώς περιμένω
να βγει από τις πράξεις που θα κάνω,
ποιο ακριβώς περιμένω να είναι το αποτέλεσμα.
Σε αυτή τη διαδικασία με βοηθούν...
...οι συλλογισμοί και οι γνώσεις που έχω για τη σύγκριση κλασμάτων.
Γι' αυτό όλα τα κομμάτια στα Μαθηματικά είναι αλληλένδετα.
Και κάποιες γνώσεις που έχουμε για τη σύγκριση
δεν είναι μόνο για να συγκρίνουμε κλάσματα,
μπορούμε να τις χρησιμοποιούμε σε κάθε ευκαιρία και σε κάθε περίπτωση.
Να κάνουμε τώρα την επόμενη διαίρεση που δεν είναι 3/2 : 2/3 =...,
είναι 2/3 : 3/2 = ... .
Εδώ έχουμε το 2/3 που είναι μικρότερο από την ακέραιη μονάδα
και το 3/2 που είναι μεγαλύτερο. Άρα λοιπόν περιμένω ότι αυτό
δεν θα χωράει ολόκληρη φορά.
Να το επαληθεύσω. Να κάνω πολύ σύντομα...
Τα κλάσματα πλέον...
Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο είναι πάλι το 6.
Αυτό για να γίνει 6... Είναι 6/9.
Και αυτό για να γίνει...
Έχουμε το 2/3 : 3/2 = ... .
Το ΕΚΠ των παρονομαστών είναι το 6.
Επί 2 ο παρονομαστής για να γίνει 6, άρα επί 2 και ο αριθμητής.
Επί 3 για να γίνει 6, άρα επί 3 και ο αριθμητής.
Έχω λοιπόν τα κλάσματα 4/6...
...και 9/6.
Αντί να κάνω τη διαίρεση 2/3 : 3/2 = ...,
έχω τη διαίρεση 4/6 : 9/6 = ... .
Το 9/6 είναι μεγαλύτερο από το 4/6.
Είναι προφανές ότι το 9/6 δεν θα χωράει 1 φορά, είναι πολύ λιγότερο.
4/9, διαιρώ τους αριθμητές.
Αυτό είναι το αποτέλεσμα στο οποίο διαισθητικά είχα φτάσει...
...με ορθολογικούς συλλογισμούς, 4 : 9.
Για να διαιρέσουμε δύο ομώνυμα κλάσματα διαιρούμε τους αριθμητές.
Να συνοψίσουμε.
(Ο δάσκαλος διαβάζει τη δεύτερη κουκκίδα)
Αυτός είναι ο κανόνας μας.
Και μ' αυτόν τον κανόνα και με αυτή τη διαδικασία
κατανοήσαμε πώς μετατρέπουμε τα κλάσματα σε ομώνυμα,
και πώς μπορούμε διαισθητικά να δούμε πόσες φορές χωράει
το δεύτερο κλάσμα στο πρώτο,
ο διαιρετέος πόσες φορές χωράει στον διαιρέτη.
Θα δούμε τώρα έναν κανόνα,
έναν τύπο που λέει ότι -
πολλές φορές για να κάνουμε διαίρεση χρησιμοποιούμε τον εξής τρόπο -
για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα αντιστρέφουμε τους όρους του 2ου κλάσματος
και αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασιασμό.
Για να δούμε πώς το καταλαβαίνουμε αυτό.
Δηλαδή λέει ότι αν έχω να κάνω αυτή τη διαίρεση...
Ας γράψουμε δύο κλάσματα.
5/8 : 2/3 = ...
Τι έχω να κάνω;
Δεν έχω παρά να ξαναγράψω το 1ο κλάσμα,
να αντιστρέψω τους όρους του 2ου κλάσματος,
το 2/3 να το γράψω 3/2, και αντί για διαίρεση να κάνω πολλαπλασιασμό.
Πώς κάνω πολλαπλασιασμό; Θυμάμαι από το προηγούμενο μάθημα...
... 3 Χ 5 = 15, οι αριθμητές,
2 Χ 8 = 16...
...ο παρονομαστής.
Αυτός είναι ένας κανόνας που μας...
...διευκολύνει όταν τον χρησιμοποιούμε για να κάνουμε πάρα πολλές διαιρέσεις,
για να βρούμε σωστό αποτέλεσμα.
Αλλά για να δούμε... Πρέπει να τον κατανοήσουμε κιόλας.
Να δούμε πώς εξηγείται και πώς φτάνουμε σ' αυτόν τον κανόνα.
Ας ξαναγυρίσουμε στους φίλους μας,
στους μαθητές της Ε' τάξης,
στη Δανάη, στην Αγγελική και στον Αντρέι,
οι οποίοι να υποθέσουμε ότι έχουν να μοιράσουν μεταξύ τους 8 χαρτόνια.
Τα παιδιά, λοιπόν, θα μοιραστούν τα χαρτόνια, 8 : 3.
Το γράφουμε σαν κλάσμα και σαν μεικτό θα το γράψουμε 2 και 2/3.
Κάθε παιδί θα πάρει 2 χαρτόνια και θα πάρει τα 2/3, ένα κομμάτι του χαρτονιού.
Άρα λοιπόν κάνοντας τη διαίρεση 8 : 3,
καταλήξαμε ότι το κάθε παιδί θα πάρει 2 και 2/3.
Να σκεφτούμε και να πούμε:
Τα παιδιά είναι 3.
Τι θα πάρει το κάθε παιδί απ' τα χαρτόνια;
Εφόσον η μοιρασιά είναι δίκαιη το κάθε παιδί θα πάρει το 1/3.
Τι έχουμε δει ότι κάνουμε όταν έχουμε να πάρουμε το μέρος μιας ποσότητας;
Κάνουμε πολλαπλασιασμό.
Άρα λοιπόν 1/3 Χ 8 = ... .
1/3 Χ 8 = 8/3.
Όμως εμείς είχαμε πει ότι έχουμε το 8 : 3
και αντιστρέφουμε το 2ο κλάσμα. Για να το γράψουμε με μορφή κλάσματος.
Δεν είχαμε πει ότι το φέρνουμε και μπροστά.
8/1 λοιπόν μπορεί να γραφτεί δια 3/1.
Και είπαμε ότι μπορούμε να το γράψουμε...
Το 8 το ξαναγράφουμε όπως είναι, 8 Χ 1/3, το δεύτερο κλάσμα.
Αυτό που έχουμε εδώ για το συλλογισμό μας είναι το 1/3 του 8.
Όμως έχουμε δει ότι όταν αντιστρέψουμε
τους όρους του γινομένου, τους αντιμεταθέσουμε,
όχι αντιστρέψουμε, αντιμεταθέσουμε,
το 1/3 Χ 8 είναι το ίδιο με το 8 Χ 1/3.
Άρα λοιπόν ο συλλογισμός είναι: 8 : 3 = 8/3 = 2 2/3.
Πώς προκύπτει η αντιστροφή του διαιρέτη;
Το κάθε παιδί θα πάρει το 1/3.
Κάνω τον πολλαπλασιασμό 1/3 Χ 8,
ο οποίος όμως είναι το ίδιο με το 8 Χ 1/3.
Άρα λοιπόν όταν έχω να κάνω τη διαίρεση 8 : 3,
είναι το ίδιο πράγμα με 8 Χ 1/3.
Αυτός ο κανόνας είναι ένας κανόνας που με βοηθάει
να βρω γρήγορα αποτελέσματα όταν τον κατανοήσω.
Όταν κατανοήσω πώς προκύπτει κατανοώ και καλύτερα τη διαίρεση.
Συνολικά να δούμε για ποια πράγματα έχουμε μιλήσει.
Για την πρόσθεση και αφαίρεση είπαμε ότι δημιουργούμε ισοδύναμα κλάσματα,
με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο σαν τον πιο σύντομο τρόπο.
Μπορούμε όμως να κάνουμε τις πράξεις μας και με τα ζευγάρια των ισοδύναμων κλασμάτων
που είναι ομώνυμα. Απλά με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο,
θα βρω τα ζευγάρια εκείνα που είναι ισοδύναμα αλλά τα κομμάτια είναι μεγαλύτερα.
Δηλαδή το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο θα με οδηγήσει στα δωδέκατα
και όχι στα εικοστά τέταρτα ή στα τριακοστά έκτα.
Ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση.
(Ο δάσκαλος διαβάζει τη διαφάνεια)
Και πάμε σύντομα να δούμε για κατανόηση
του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης,
τι σημαίνει 1/3 Χ 1/4 και τι 1/4 Χ 1/3.
1/3 Χ 1/4 = 1/12 και σημαίνει ότι παίρνουμε το 1/3 του 1/4.
1/4 Χ 1/3 = 1/12, το αποτέλεσμα είναι πάλι 1/12 αλλά σημαίνει
ότι πήραμε το 1/4 του 1/3.
Δηλαδή πήραμε το 1/4 του 1/3, το 1 από τα 4 κομμάτια, το θυμόμαστε είναι το 1/12.
Το 1/3 του 1/4 είναι το 1 από τα 3 κομμάτια του 1/4, πάλι είναι το 1/12.
Έχουμε δύο δραστηριότητες που τις έχουμε ξανακάνει.
Να τις ξαναθυμηθούμε γιατί μπορείτε να ασχοληθείτε κι εσείς.
Έχουμε πει ότι οι φυσικοί αριθμοί...
Έχουμε διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς,
ο ένας διαδέχεται τον άλλον προσθέτοντας το 1,
15, 16, 17... 15 + 1 = 16.
Δύο αριθμοί που έχουν άθροισμα 31, 15 + 16 = 31.
Έχω δύο κλάσματα τώρα, το 4/6 και το 5/6.
Συγχρόνως θα κάνουμε και μια σύντομη επανάληψη.
Πού θα τα τοποθετήσω;
Είναι και τα δύο μικρότερα από τη μονάδα.
Το 5/6 είναι μεγαλύτερο.
Άρα εδώ θα βάλουμε το 5/6.
Και κάπου εδώ το 4/6.
Δεν φαίνεται να υπάρχει κάτι ανάμεσά τους.
Δεν το βλέπουμε εμείς.
Ας φτιάξουμε ισοδύναμα κλάσματα για το καθένα.
Ας φτιάξουμε με το 6.
4 Χ 6 και 6 Χ 6.
Και εδώ 5 Χ 6 και 6 Χ 6.
Τι θα προκύψει;
24/36
Και εδώ έχουμε 30/36.
Λοιπόν τα 4/6 είναι εδώ.
Και τα 5/6 είναι εδώ.
Και βλέπω ότι εδώ μπορώ να έχω 25/36,
είναι μικρότερο από τα 26/36,
μικρότερο από τα 27/36,
28/36, μικρότερο από τα 29/36,
και μικρότερο από τα 30/36.
Να μεταφέρουμε και το 5/6 στη θέση του
για να μπορούμε να έχουμε...
Μια ωραία δραστηριότητα που μπορείτε να κάνετε
είναι να πάρουμε εδώ δύο κλάσματα
για να κάνουμε την ίδια διαδικασία.
Ανάμεσα στο 27/36 και στο 28/36
να παρεμβάλλουμε κλάσματα τα οποία θα τα βρούμε με την ίδια διαδικασία,
που τα βρήκαμε και στον πίνακα.
Και μια άλλη δραστηριότητα πολύ ωραία είναι
να δημιουργώ κλάσματα με αριθμητή μικρότερο κατά 1 από τον παρονομαστή.
Κι αφού τα δημιουργήσω να τα συγκρίνω.
Ας πάρουμε δύο διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς,
εφόσον ο ένας είναι κατά 1 μικρότερος.
Θα πάρουμε το 9 και το 10.
Το μικρότερο το βάζουμε αριθμητή και το μεγαλύτερο παρονομαστή.
Και ας πάρουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς διαδοχικούς.
Το 19 και το 20.
Το 19 το βάζουμε αριθμητή και το 20 παρονομαστή.
Τι λείπει από το 9/10 για να γίνει 1, ακέραιη ποσότητα;
Μας λείπει 1/10.
Τι μας λείπει από τα 19/20 για να γίνει ολόκληρη ποσότητα;
Μας λείπει το 1/20.
Ορίστε και το 1/20.
Ποιο λοιπόν είναι πιο κοντά στο 1;
Είναι το 19/20 γιατί του λείπει μικρότερο κομμάτι για να φτάσει στο 1.
Άρα λοιπόν το 9/10 είναι μικρότερο από το 19/20.
Θα μπορούσαμε λοιπόν να κάνουμε τη διαδικασία με οποιουσδήποτε αριθμούς.
Μπορείτε να φτιάξετε ζευγάρια διαδοχικών φυσικών αριθμών
και να ελέγξετε ποιο από τα δύο κλάσματα που σχηματίσατε
είναι πιο κοντά στο 1.
Έτσι κάνουμε σύγκριση, θυμόμαστε όλα τα προηγούμενα.
Ας φτιάξουμε ένα ζευγάρι κι εμείς εδώ.
Θα βάλουμε δύο διαδοχικούς, το 100 και το 101.
Και το 110 με το 111.
Από αυτά τα δύο ζευγάρια...
Από εδώ μας λείπει 1/101
και από εδώ μας λείπει 1/111 για να φτάσουμε το 1.
Άρα λοιπόν αυτό είναι μεγαλύτερο επειδή του λείπει μικρότερη ποσότητα.
Συνοψίζοντας, αφού μιλήσαμε για τα κλάσματα, τους κλασματικούς αριθμούς,
η κλασματική μονάδα είναι το κομβικό σημείο,
η ουσία των κλασμάτων, απ' αυτήν παράγονται,
από την κλασματική μονάδα παράγονται τα κλάσματα.
Μιλήσαμε για τις πράξεις, χρησιμοποιήσαμε τους νοερούς συλλογισμούς
ώστε να κατανοήσουμε βαθύτερα τα κλάσματα.
Και χρησιμοποιήσαμε και τους τύπους για να κάνουμε σύντομα και απλά τις πράξεις μας.
Έχουμε και δύο δραστηριότητες,
οι οποίες μας βοηθούν να καταλάβουμε ότι πάντα θα βρίσκω κλάσματα ανάμεσα στα κλάσματα.
Και μετά φτιάξαμε κλάσματα τα οποία πλησιάζουν στο 1 αλλά δεν το φτάνουν.
Είναι δύο δραστηριότητες που μπορείτε να συνεχίσετε.
Θα σας φανούν αρκετά ενδιαφέρουσες.
Καλή μελέτη, καλή συνέχεια και καλό διάβασμα.
