Μαθηματικά | Κριτήρια διαιρετότητας | ΣΤ' Δημοτικού Επ. 28
Παιδιά, γεια σας! Είμαστε εδώ πάλι μαζί.
Θα κάνουμε την Ενότητα 1.13 στα Μαθηματικά της ΣΤ' Δημοτικού,
η οποία αφορά τα κριτήρια διαιρετότητας.
Θα ξεκινήσουμε λοιπόν με ένα πρόβλημα.
Πάμε λοιπόν να το διαβάσουμε μαζί.
Το βλέπετε ήδη κι εσείς.
Ένα σχολείο έχει 165 κορίτσια και 132 αγόρια.
Κρατάμε τους αριθμούς.
Είναι δυνατόν να παραταχθούν τα κορίτσια σε δυάδες,
τριάδες ή πεντάδες χωρίς να περισσέψει καμία;
Και αν αυτό είναι δυνατόν, είναι δυνατόν να γίνει το ίδιο και με τα αγόρια;
Πάμε λοιπόν να δούμε μαζί τι πρέπει να κάνουμε.
Κρατάμε τους δύο αριθμούς οι οποίοι...
είναι το 165 για τα κορίτσια και το 132 για τα αγόρια.
Έχουμε λοιπόν 165 κορίτσια.
Το γράφω πιο κάτω για να δούμε τι είναι, και 132 αγόρια.
Το πρόβλημα μας ρωτάει τι;
Μας ρωτάει αν μπορούμε να τα παρατάξουμε σε δυάδες,
σε τριάδες ή σε πεντάδες χωρίς να περισσέψει κανένας.
Άρα εμείς τι θέλουμε;
Σε δυάδες.
Σε τριάδες.
Και σε πεντάδες.
Καταλαβαίνετε ότι, για να μπορέσουμε να δούμε...
αν τα παιδιά μπορούμε να τα βάλουμε δύο - δύο,
τα κορίτσια, θα πρέπει να διαιρέσουμε το 165 με το 2...
και να δούμε αν περισσεύει κάτι.
Αν διαιρέσουμε το 165 με το 2,
θα μας βγουν ότι έχουμε 82 δυάδες,
αλλά μου περισσεύει και 1 κορίτσι.
Περισσεύει 1 κοριτσάκι.
Αν τα βάλουμε τώρα σε τριάδες,
θα διαιρέσουμε επί της ουσίας το 165 με το 3.
Οπότε θα μας βγουν 55 τριάδες και εδώ δεν μας περισσεύει απολύτως τίποτα.
Αν θέλουμε τώρα να τα βάλουμε σε πεντάδες, τι πρέπει να κάνουμε;
Θα πρέπει να διαιρέσουμε το 165 με το 5.
Και πόσο θα μας βγει;
33.
Εδώ λοιπόν τι βλέπουμε;
Ότι αν τα κορίτσια του σχολείου τα παρατάξουμε σε δυάδες,
θα έχουμε 82 και θα μας περισσέψει 1.
Αν τα παρατάξουμε σε τριάδες,
θα έχουμε 55 και δεν μας περισσεύει κανένα.
Κι αν τα παρατάξουμε σε πεντάδες,
θα έχουμε 33 και δεν θα μας περισσέψει κανένα.
Πάμε να δούμε το ίδιο για τα αγόρια.
Ομοίως πρέπει να δούμε αν μπορούμε να τα παρατάξουμε σε δυάδες,
σε τριάδες και σε πεντάδες.
Με τον ίδιο τρόπο, τι θα πρέπει να κάνουμε;
Θα πρέπει να διαιρέσουμε το 132 με το 2,
για να δούμε πόσες δυάδες μπορούμε να κάνουμε τα αγόρια.
Αν λοιπόν διαιρέσουμε το 132 με το 2,
θα μας βγει 66.
Πάμε να δούμε το 132 αν το διαιρέσουμε με το 3.
Αν κάνουμε τη διαίρεση λοιπόν,
θα μας βγει ο αριθμός 44.
Θα έχουμε λοιπόν 44 τριάδες αγοριών.
Αν τώρα πάμε να κάνουμε τη διαίρεση με το 5...
Θα δούμε, αν κάνουμε τη διαίρεση,
ότι έχουμε 26 πεντάδες και θα μας περισσέψουν...
και μας περισσεύουν 2 αγόρια.
Βλέπουμε λοιπόν ότι κάναμε μία πρώτη εκτίμηση...
και βρήκαμε ότι εμείς βάζοντας τα παιδιά...
σε δυάδες, τριάδες και πεντάδες,
έχουμε στις μεν τριάδες στα κορίτσια και στις πεντάδες,
αριθμό ο οποίος δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο,
δηλαδή δεν περισσεύει κανείς.
Και στα αγόρια έχουμε το ίδιο για τις δυάδες και τις τριάδες,
δεν μας περισσεύει κανένα αγόρι,
ενώ για τις πεντάδες μάς περισσεύουν 2.
Προσέξτε, παιδιά! Για να δούμε λίγο παρακάτω...
μια αντίστοιχη προσέγγιση με κάτι άλλο και μετά θα γενικεύσουμε.
Βλέπετε ήδη στη διαφάνεια,
ότι ένα βιβλίο έχει λιγότερες από 382. Προσέξτε τι σας λέω:
λιγότερες από 382 και περισσότερες από 376 σελίδες.
Κρατάμε τα νούμερα.
Τι λέει; Λιγότερες...
από 382.
Και περισσότερες...
από 376.
Προσέξτε!
Οι αριθμοί λοιπόν, μας ρωτάει...
Αν τις μετρήσουμε πέντε - πέντε,
δεν μας περισσεύει καμία,
και το ερώτημα είναι: πόσες σελίδες έχει το βιβλίο.
Προσέξτε!
Πρέπει να 'ναι πιο λίγες από το 382 και πιο πολλές από το 376.
Πάμε λοιπόν εμείς να γράψουμε τις πιθανές λύσεις.
Ποιές είναι οι πιθανές λύσεις;
Αν ξεκινήσουμε να μετράμε από το 376...
Το 376 δεν θα το βάλουμε μέσα. Γιατί;
Γιατί μας λέει "περισσότερες".
Άρα ο πρώτος πιθανός αριθμός είναι το 377,
και ανεβαίνουμε.
378.
379.
380.
381 και γιατί σταματάμε εδώ;
Γιατί μου λέει "λιγότερες από 382".
Οι πιθανοί λοιπόν αριθμοί μου είναι αυτοί οι πέντε.
Προσέξτε όμως τι με ρωτάει!
Με ρωτάει αν τις σελίδες αυτές τις βάλω πέντε - πέντε,
χωρίς βεβαίως να περισσεύει καμία.
Αν λοιπόν εγώ ξεκινήσω και κάνω διαίρεση αυτών των αριθμών με το 5,
θα βλέπω ότι σε όλους...
Για να μην κάθομαι να κάνω τις διαιρέσεις - μπορείτε να τις κάνετε μόνοι σας...
Σε αυτόν θα μου μείνει υπόλοιπο 2.
Σε αυτόν θα μου μείνει υπόλοιπο 3.
Σε αυτόν θα μου μείνει υπόλοιπο 4.
Σε αυτόν το υπόλοιπο είναι μηδενικό.
Και σε αυτόν θα μου μείνει υπόλοιπο 1.
Προσέξτε λοιπόν!
Με βάση αυτό αντιλαμβάνομαι ότι ο αριθμός των σελίδων του βιβλίου,
κάνοντας τη διαίρεση με το 5,
είναι ο αριθμός 380.
Και πάμε να δούμε και κάτι ακόμα, για να δούμε συνολικά για τα κριτήρια.
Πάμε να δούμε το επόμενο πρόβλημα!
Ένα ενυδρείο, μας λέει εδώ,
έχει, προσέξτε, περισσότερα από 781...
και λιγότερα από 799 ψαράκια.
Εδώ το δυσκολεύει λίγο. Γιατί;
Αν τα μετρήσουμε δύο - δύο ή πέντε - πέντε ή δέκα - δέκα,
δεν περισσεύει κανένα.
Και, βεβαίως, αυτό που μας ρωτάει να βρούμε είναι πόσα είναι τα ψαράκια.
Κρατάμε πάλι τους αριθμούς.
Μας λέει περισσότερα από 781 και λιγότερα από 799.
Άρα, για να το δούμε μαζί!
Περισσότερα από 781.
Λιγότερα από 799.
Εδώ όμως αυτό το οποίο μας ρωτάει...
δεν είναι όπως ήταν το προηγούμενο, να τα βάλουμε πέντε - πέντε.
Τι μας ρωτάει; Το ξαναλέω άλλη μία φορά γιατί πρέπει να το προσέξετε.
Αν τα μετρήσουμε είτε δύο - δύο είτε πέντε - πέντε είτε δέκα - δέκα,
να μην περισσεύει κανένα.
Εγώ λοιπόν αντί να καθίσω να κάνω όλες αυτές τις διαιρέσεις, τι θα πάω να γράψω;
Θα πάω να γράψω τους αριθμούς που είναι οι πιθανές μου λύσεις.
Ποιες λοιπόν μπορεί να είναι οι πιθανές λύσεις;
Θα ξεκινήσουμε από τον μικρότερο αριθμό.
Όπως και στην προηγούμενη άσκηση,
το 781 δεν θα το βάλω, παιδιά. Γιατί;
Γιατί μου λέει "περισσότερα από 781".
Άρα θα ξεκινήσω από το 782.
Και συνεχίζω.
Για να δούμε!
Σταματάω στο 798 - για ποιο λόγο, παιδιά;
Γιατί μου λέει ότι πρέπει να είναι λιγότερα από 799.
Άρα τον 799 δεν θα τον βάλω μέσα.
Προσέξτε όμως τώρα τι θέλει!
Θέλει συνδυαστικά να μπορώ εγώ αυτά τα ψαράκια,
αν τα βάλω σε δυάδες, αν τα βάλω σε πεντάδες ή αν τα βάλω σε δεκάδες,
να μη μου περισσεύει κανένα.
Νομίζω... Πεντάδες, ναι - ναι, σωστά.
Έχουμε λοιπόν εδώ μία σειρά από αριθμούς.
Κι εμείς θα πρέπει να επιλέξουμε τον αριθμό των ψαριών,
ο οποίος πληροί όλα τα κριτήρια αυτά τα οποία είπαμε.
Δυάδες, πεντάδες και δεκάδες.
Ξέρουμε λοιπόν ότι για να μπορεί να είναι σε δυάδες,
θα πρέπει ο τελευταίος μου αριθμός να είναι άρτιος:
Να μπορεί να διαιρείται με το 2 και να μου αφήνει υπόλοιπο 0.
Το ίδιο θα πρέπει να κάνει και με το 5. Δηλαδή τι σημαίνει αυτό;
Θα πρέπει να διαιρείται με το 5 και επίσης το υπόλοιπό του να είναι 0.
Και το ίδιο ακριβώς πράγμα θα πρέπει να συμβεί και με το 10.
Να διαιρείται με το 10 και πάλι το υπόλοιπο που θα μου αφήνει να είναι 0.
Αν λοιπόν εμείς, από όλους αυτούς τους αριθμούς,
πρέπει να βρούμε έναν ο οποίος πληροί όλα τα παραπάνω κριτήρια,
αν είναι βέβαια να καθίσω να κάνω τώρα όλες αυτές τις διαιρέσεις,
θα βρούμε ότι είναι ο αριθμός 790. Γιατί;
Το 790 αν το διαιρέσω με το 2 μου δίνει υπόλοιπο 0.
Αν το διαιρέσω με το 5 μου αφήνει πάλι υπόλοιπο 0.
Κι αν το διαιρέσω με το 10 το υπόλοιπό του είναι εκ νέου 0.
Άρα ο αριθμός ο οποίος πληροί τις 3 παραπάνω προϋποθέσεις...
είναι ο 790.
Προσέξτε, παιδιά.
Όλα αυτά τα ερωτήματα τα οποία θέσαμε και λύσαμε στον πίνακα,
μας οδηγούν σε μία καινούργια μαθηματική έννοια,
η οποία είναι τα κριτήρια διαιρετότητας.
Για να δούμε λοιπόν. Το βλέπετε κι εσείς ήδη.
Τι εννοούμε όταν λέμε κριτήρια διαιρετότητας.
Κριτήρια διαιρετότητας λοιπόν λέγονται οι κανόνες - προσέξτε -
με τους οποίους μπορώ να συμπεράνω πώς, χωρίς να κάνω διαίρεση,
αν ένας αριθμός διαιρείται με κάποιον άλλον.
Δηλαδή, κανονικά σε αυτό που βλέπαμε πριν...
εμείς, έπρεπε να πάρουμε να κάνουμε όλες τις διαιρέσεις με το 2, το 5 και το 10.
Καταλαβαίνετε ότι ο χρόνος είναι ατελείωτος.
Θα πούμε λοιπόν τα κριτήρια διαιρετότητας, τα οποία τι δυνατότητα μου δίνουν;
Μου δίνουν τη δυνατότητα, βλέποντας έναν αριθμό,
να μπορώ εγώ χωρίς να κάνω τις διαιρέσεις...
να βλέπω αν το υπόλοιπό του είναι 0.
Δηλαδή αν διαιρείται ακριβώς.
Αυτό το οποίο πρέπει να θυμόμαστε όλοι είναι ποιο;
Ότι όλοι οι αριθμοί διαιρούν ακριβώς τον εαυτό τους και τα πολλαπλάσιά τους.
Και βεβαίως εμείς θα δείξουμε τώρα λίγο παρακάτω,
ποια είναι τα λεγόμενα κριτήρια διαιρετότητας.
Δηλαδή πότε ένας αριθμός θα διαιρείται ακριβώς με ποιους;
Με το 2, με το 3, με το 4,
με το 5, με το 9,
το 10, το 25 και το 100.
Πάμε λοιπόν να τα δούμε μαζί.
Και να τα γράψουμε και στον πίνακα.
Το 2, όπως γνωρίζετε όλοι, είναι άρτιος αριθμός.
Ζυγός αριθμός είναι το ίδιο πράγμα.
Άρα με το 2...
διαιρούνται όλοι οι αριθμοί οι οποίοι το τελευταίο τους ψηφίο είναι άρτιος αριθμός.
Άρα τι θέλουμε στο 2;
Το τελευταίο ψηφίο...
να είναι άρτιος.
Τι σημαίνει άρτιος, παιδιά;
0, 2, 4, 6, και 8.
Πάμε να δούμε με το 3.
Με το 3 πότε διαιρούνται οι αριθμοί ακριβώς;
Όταν το άθροισμα των ψηφίων τους είναι πολλαπλάσιο του 3.
Θα σας εξηγήσω αμέσως τι εννοώ.
Πρέπει λοιπόν να είναι πολλαπλάσιο του 3, ποιο;
Το άθροισμα των ψηφίων.
Αν παραδείγματος χάρη σας δώσω εγώ τον αριθμό 153,
και σας ρωτήσω χωρίς να κάνετε τη διαίρεση, αν διαιρείται με το 3,
προσέξτε τι κάνετε:
1 + 5 + 3 = 9, είναι το άθροισμα των ψηφίων.
Το 9 είναι πολλαπλάσιο του 3, γιατί 3 Χ 3 = 9.
Άρα το 153 διαιρείται με το 3 ακριβώς χωρίς να χρειαστεί να κάνω τη διαίρεση.
Αν σας δώσω τον αριθμό, παραδείγματος χάρη, 192...
και σας ρωτήσω αν διαιρείται με το 3,
τι πρέπει να κάνετε;
1 + 9 + 2 = 12.
Το 12; 1 + 2 = 3.
Άρα το 3 είναι πολλαπλάσιο του 3, χωράει μία φορά, διαιρείται ακριβώς.
Πάμε παρακάτω.
Πάμε λοιπόν τώρα να δούμε με το 4.
Με το 4, όπως το βλέπετε και στη διαφάνεια η οποία προβάλλεται,
μας λέει ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 4,
αν ο αριθμός που σχηματίζεται - προσέξτε -
από τα τελευταία δύο ψηφία του, διαιρείται με το 4.
Για να το δούμε λοιπόν.
Αν λοιπόν τα τελευταία δύο ψηφία...
διαιρούνται με το 4.
Για να δούμε, παιδιά.
Αν λοιπόν εγώ σας δώσω τον αριθμό 312...
και σας ρωτήσω αν διαιρείται με το 4,
εσείς τι θα πρέπει να κοιτάξετε;
Δεν κοιτάμε όλον τον αριθμό.
Κοιτάμε τα τελευταία δύο ψηφία.
Βλέπουμε λοιπόν ότι τα τελευταία δύο ψηφία είναι το 12.
Άρα λοιπόν το 12 διαιρείται με το 4, γιατί 3 Χ 4 = 12.
Επαναλαμβάνω: στο 4, αν με ρωτήσουν αν διαιρείται ακριβώς ο αριθμός με το 4,
εγώ πρέπει να δω τα τελευταία δύο ψηφία.
Κοιτάω λοιπόν το 12. Όχι όπως έκανα στο 3, που τα πρόσθετα.
Κοιτάω αν το 12 είναι πολλαπλάσιο του 4.
Ή, αντίστροφα, αν τα τελευταία δύο ψηφία διαιρούνται με το 4.
Πάμε να δούμε για το 5!
Με το 5 κοιτάζω μόνο το τελευταίο ψηφίο.
Για να διαιρείται ένας αριθμός ακριβώς με το 5, τι πρέπει;
Πρέπει το τελευταίο ψηφίο...
να είναι - μόνο δύο επιλογές έχω -
0 ή 5.
Νομίζω ότι είναι από τα πιο εύκολα.
Άρα ό,τι αριθμό και να μου δώσουν,
κοιτάζω το τελευταίο του ψηφίο -
αν είναι 0 ή 5 διαιρείται ακριβώς με το 5.
Δεν χρειάζεται να πω κάτι άλλο, είναι το πιο εύκολο αυτό.
Πάμε να δούμε με το 9!
Το 9, παιδιά, είναι κοντά με το 3,
αλλά πρέπει το άθροισμα των ψηφίων να είναι 9.
Άρα - προσέξτε -
το άθροισμα λοιπόν όλων των ψηφίων...
να είναι 9.
Αν εγώ λοιπόν σας δώσω τον αριθμό 342...
και σας ρωτήσω να μου πείτε, χωρίς να κάνετε τη διαίρεση,
αν αυτός ο αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 9, εσείς τι πρέπει να κάνετε;
Πρέπει να πάτε να προσθέσετε τα ψηφία του.
3 + 4 + 2 = 9.
Αφού είναι λοιπόν το άθροισμα των ψηφίων του 9,
χωρίς να κάνω τη διαίρεση βλέπω ότι διαιρείται ακριβώς με το 9.
Για να δούμε έναν άλλο αριθμό!
Αν παραδείγματος χάρη σας δώσω τον αριθμό 333,
εύκολος, και σας ρωτήσω "διαιρείται με το 9;".
3 + 3 + 3 = 9, βεβαίως και διαιρείται.
Πάμε λοιπόν παρακάτω.
Πάμε να δούμε με το 10.
Πολύ εύκολο επίσης, σαν το 5.
Εδώ τι κοιτάζω μόνο;
Κοιτάζω μόνο το τελευταίο ψηφίο,
το οποίο τι θέλω να είναι;
Να είναι 0.
Πάρα πολύ εύκολο!
Ό,τι αριθμό βλέπω που το τελευταίο του ψηφίο είναι 0,
διαιρείται με το 10.
Πάμε να δούμε για το 25.
Τι ψάχνω λοιπόν, παιδιά; Προσέξτε!
Στο 25 κοιτάζω πάλι τα δύο τελευταία ψηφία.
Για να διαιρείται λοιπόν ένας αριθμός με το 25,
πρέπει τα δύο τελευταία ψηφία...
να είναι - προσέξτε - αριθμοί οι οποίοι διαιρούνται ακριβώς με το 25.
Τι μπορεί να είναι λοιπόν; Κοιτάξτε, παιδιά.
Μπορεί να είναι 00, μπορεί να είναι 25,
μπορεί να είναι 50 και μπορεί να είναι 75.
Τα δύο τελευταία ψηφία.
Άρα ό,τι αριθμό και να μου δώσουν...
και με ρωτήσουν, αν εγώ πρέπει να βρω διαιρώντας με το 25,
αν είναι τέλεια η διαίρεση, αν δεν μου αφήνει κανένα υπόλοιπο,
θα πρέπει να πάω να κοιτάξω τα τελευταία δύο ψηφία,
έτσι ώστε όταν γίνεται η διαίρεση να είναι 0 το υπόλοιπο.
Η παραδοχή η οποία το εξυπηρετεί είναι:
ή 00 ή 25 ή 50 ή 75.
Και πάμε και στο τελευταίο, με το 100.
Το οποίο είναι όμοιο με το 10, αλλά τι θέλω; Θέλω δύο μηδενικά.
Άρα θέλω τα δύο τελευταία ψηφία...
να είναι 00, δύο μηδενικά.
Αυτά λοιπόν που είπαμε τώρα και αυτά που βλέπατε και στη διαφάνεια πριν,
είναι τα λεγόμενα κριτήρια διαιρετότητας...
τα οποία μας επιτρέπουν, αν τα ξέρουμε καλά,
να βλέπουμε αν ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς με τους αριθμούς που έχουμε γράψει...
2, 3, 4, 5,
9, 10, 25 και 100,
χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε τη διαίρεση.
Οπότε, θεωρώντας ότι μάλλον το καταλάβατε αυτό,
πάμε λοιπόν τώρα να δούμε δύο - τρεις απλές ασκήσεις...
πάνω στα κριτήρια διαιρετότητας.
Εσείς βλέπετε ήδη την άσκηση. Θα τη διαβάσουμε και μαζί.
Και πάμε λοιπόν να το δούμε,
κρατώντας στο μυαλό μας τι είπαμε για το πότε ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς...
με αυτούς τους οποίους είπαμε.
Σας γράφω έναν αριθμό με μία παύλα.
Και λέω, πρέπει εμείς να συμπληρώσουμε εδώ ένα ψηφίο,
ώστε ο αριθμός που θα προκύψει να διαιρείται...
με το 2 και το 3.
Προσέξτε! Για να διαιρείται με το 2,
σημαίνει ότι εδώ οπωσδήποτε ο αριθμός που θα είναι άρτιος,
δηλαδή ζυγός.
Άρα τα ψηφία τα οποία μπορώ να βάλω εκεί είναι ποια;
Μπορεί να είναι το 0, το 2, το 4, το 6 και το 8.
Δεν θα έχω σίγουρα μονό αριθμό.
Δηλαδή εδώ δεν μπορεί να είναι ο αριθμός 1, 3, 5, 7 και 9.
Προσέξτε! Ένας από αυτούς τους αριθμούς θα είναι,
για να μου πληροί το 2. Ναι, αλλά εγώ δεν θέλω μόνο το 2!
Θέλω να διαιρεί και το 3.
Τι είπαμε λοιπόν στα κριτήρια διαιρετότητας;
Για να διαιρείται με 3, θα πρέπει το άθροισμα...
των ψηφίων του να είναι πολλαπλάσιο του 3.
Για να δούμε!
Εδώ έχω λοιπόν 7 + 5 = 12.
Άρα 2 + 1 = 3.
Μπορώ να βάλω το 0;
Βεβαίως μπορώ. Γιατί;
Γιατί 7 + 5 + 0 = 12, 1 + 2 = 3.
Ο αριθμός που προκύπτει λοιπόν είναι το 750,
έτσι ώστε να μπορώ να το διαιρέσω ταυτόχρονα και με το 2 και με το 3.
Αν έβαζα το 2 - δεν θα τα πάρω όλα, απλώς να σας το εξηγήσω.
Αν έλεγε ένα παιδάκι ότι εγώ θα βάλω το 2,
με το 2 θα μπορούσα να το διαιρέσω.
Με το 3 όμως, αν εδώ είχα βάλει 2 - προσέξτε -
θα είχα 7 + 5 + 2 = 14,
1 + 4 = 5, άρα με το 2 δεν γίνεται.
Με τον ίδιο τρόπο λοιπόν θα προχωρήσετε και παρακάτω.
Πάμε να κάνουμε άλλον έναν αριθμό, άλλο ένα παράδειγμα τέτοιο.
Αν εγώ έχω τον αριθμό 292_,
και σας λέω ότι πρέπει να διαιρείται ταυτόχρονα,
να βρω ένα ψηφίο που να διαιρείται με το 5 και με το 9.
Για να δούμε.
Το εύκολο είναι με το 5. Γιατί;
Γιατί είδαμε από τα κριτήρια διαιρετότητας,
ότι ένα αριθμός διαιρείται ακριβώς με το 5 πότε;
Όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι τι;
0 ή 5.
Άρα λοιπόν για να διαιρείται ταυτόχρονα και με το 9 τι θέλω;
Θέλω το άθροισμα των ψηφίων του να είναι 9.
Πάω λοιπόν να βάλω.
Αν βάλω το 0,
τι έχω;
2 + 9 = 11,
11 + 2 = 13.
3 + 1 = 4.
Δεν μου κάνει. Γιατί;
Γιατί δεν διαιρείται με το 9.
Άρα το 0 δεν είναι.
Για να βάλουμε λοιπόν το 5, τη δεύτερη επιλογή μας.
Για να δούμε τι έχουμε.
2 + 9 = 11,
11 + 2 = 13,
13 + 5 + 18.
1 + 8 = 9.
Άρα το ψηφίο το οποίο εγώ πρέπει να συμπληρώσω είναι το 5.
Και πάμε να δείτε, το βλέπετε ήδη μάλλον εσείς στη διαφάνεια,
σας έχω ετοιμάσει έναν πίνακα,
που να μπορούμε να συμπληρώσουμε στα τετραγωνάκια...
κάποιους αριθμούς και να βρίσκουμε αν διαιρείται ταυτόχρονα...
με το 3, με το 4, μαζί με το 2 και το 3 ή μαζί με το 5 και το 2.
Επειδή ο χρόνος πιέζει πάρα πολύ,
εγώ θα σας κάνω τις δύο πρώτες γραμμές,
θα σας εξηγήσω πώς γίνεται και τα υπόλοιπα θα τα συμπληρώσετε μόνοι σας.
Ο πρώτος λοιπόν αριθμός... Εγώ θα φτιάξω ένα πινακάκι σύντομο εδώ.
Ο πρώτος αριθμός ο οποίος μας δίνει είναι το 1254.
Και τι θέλουμε; Θέλουμε να βρούμε αν διαιρείται με το 3, με το 4,
και μαζί με 2 και 3 και 5 και 2.
Θέλουμε να δούμε αν διαιρείται ακριβώς με το 3.
Τι πρέπει να κάνω;
Πρέπει να προσθέσω τα ψηφία...
και το άθροισμα των αριθμών να είναι πολλαπλάσιο του 3 για να διαιρείται με το 3.
Άρα 1 + 2 + 3,
3 + 5 = 8,
8 + 4 = 12.
1 + 2 = 3. Άρα μια χαρά διαιρείται με το 3.
Πάμε να δούμε με το 4.
Τι είπαμε, παιδιά, κοιτάμε στο 4;
Κοιτάμε τα τελευταία δύο ψηφία αν διαιρούνται με το 4.
Εδώ έχουμε λοιπόν το 54.
Το 54 δεν διαιρείται ακριβώς με το 4.
Οπότε εδώ δεν έχουμε.
Με το 4 δεν διαιρείται ακριβώς.
Πάμε να δούμε με το 2 και το 3.
Για να δούμε.
Βλέπουμε ότι τελειώνει σε άρτιο αριθμό, σε 4,
άρα με το 2 διαιρείται.
Ναι, αλλά εμείς με το 3 το βρήκαμε ήδη ότι διαιρείται.
Άρα πολύ ωραία διαιρείται μαζί και με το 2 και με το 3.
Και τώρα τι θέλουμε να δούμε;
Αν διαιρείται μαζί και με το 5 και το 2.
Προσέξτε! Θα μπορούσε να διαιρεθεί με το 5,
αν το τελευταίο ψηφίο του ήταν 0 ή 5.
Δεν είναι όμως. Οπότε δεν διαιρείται μαζί και με το 5 και με το 2.
Και πάμε να κάνουμε κι άλλον έναν αριθμό και να τελειώσουμε.
Είναι το 87420.
Πάμε να δούμε πρώτα με το 3 αν διαιρείται.
Για να δούμε. 8 + 7 = 15,
15 + 4 = 19,
19 + 2 = 21.
1 + 2 = 3.
Άρα διαιρείται με το 3.
Πάμε να δούμε αν διαιρείται με το 4.
Προσέξτε τα τελευταία δύο ψηφία του είναι το 2 και το 0, δηλαδή το 20.
Το 20 είναι πολλαπλάσιο του 4.
Άρα και βέβαια διαιρείται.
Πάμε να δούμε αν διαιρείται μαζί με το 2 και το 3.
Είναι ζυγός αριθμός;
Βεβαίως, γιατί είναι το 0.
Είδαμε ότι διαιρείται με το 3;
Ναι, άρα διαιρείται και με το 2 και με το 3.
Και πάμε στο τελευταίο, να δούμε αν διαιρείται με 5 και 2.
Προσέξτε με το 5 διαιρείται. Γιατί; Γιατί το τελευταίο του ψηφίο είναι 0.
Άρα με το 5 διαιρείται μια χαρά.
Και με το 2 διαιρείται. Γιατί; Γιατί το 0 είναι άρτιος.
Οπότε πληροί την προϋπόθεση και βεβαίως μπορεί...
να διαιρεθεί μαζί και με το 5 και με το 2.
Στη διαφάνεια που βλέπετε υπάρχουν και άλλοι αριθμοί.
Σημειώστε τους αν θέλετε και συνεχίστε εσείς να το κάνετε μόνοι σας.
Ευχαριστώ πολύ που με παρακολουθήσατε. Καλή συνέχεια!
