El Teorema de Tales 📌📄 Ejemplos
Hola amigos, si alguna civilización merece considerarse la creadora de idea
de teorema esa es la civilización griega
y aunque muchos pensadores contribuyeron a esta forma de crear conocimiento
si tenemos que elegir un padre para este modo de pensar es sin duda
Tales de Mileto.
Es cierto que en el antiguo Egipto desde mucho tiempo antes se conocían fórmulas
para calcular áreas y volúmenes como por ejemplo el cilindro y la pirámide,
pero los egipcios tenían procedimientos para resolver problemas geométricos, esto es,
una serie de recetas muchas veces obtenidas por tanteo, que por mucho que
les sirviera para construir la gran pirámide, para poder hablar de ciencia
necesitamos la noción de teoría. Tales vivió en el siglo sexto A.C.
en la ciudad griega de Mileto, en la costa mediterránea de lo que hoy es
Turquía. Se sabe muy poco de su vida, salvo un puñado de leyendas, como por
ejemplo que viajó a Egipto donde aprendió geometría. Aunque como hemos
dicho no sólo sus conocimientos fueron muy superiores a los de los egipcios
sino también su forma de pensar. Tales se empeñó en demostrar verdades geométricas
aún cuando podían parecer evidentes. Nació así la idea de teorema, el más
antiguo de todos los teoremas geométricos es el que todavía lleva su
nombre. El teorema de Tales. Consideremos una
familia de rectas paralelas y consideremos un par de rectas
perpendiculares a estas familias. Los puntos de corte determinarán
segmentos. Fijaros que el segmento A A' es igual que el segmento BB'
por tanto su cociente será igual a 1. también A'A'' es igual a
B'B'' y su conciente es también por tanto 1. Así que tenemos que
los cocientes de segmentos enfrentados son iguales. Pero, ¿qué ocurre si las dos
rectas perpendiculares no fueran perpendiculares, es decir estuvieran un
poco inclinadas. Ahora los segmentos enfrentados ya no
tienen por qué ser iguales y por tanto su cociente no tiene porqué ser 1.
Sin embargo lo que nos dice el teorema de Tales es que los cocientes de segmentos
enfrentados siempre son iguales entre sí. Vamos a ver lo poderoso que es este
teorema con un ejemplo que la leyenda atribuye al propio Tales de Mileto:
Cómo medir la altura de una pirámide. Tal es inasequible al desaliento buscaba un
método para medir longitudes de imposible acceso como por ejemplo la
perpendicular a la base de la pirámide que pasa por la cúspide que denotaremos
con la letra a de altura. Una longitud de la pirámide que si es accesible y
podemos medir es el lado de su base, supongamos que ésta mide 8 unidades de
longitud no parece que podamos medir más
longitudes fácilmente o quizás si... Detengámonos un momento y pensemos
también podemos medir la longitud de la sombra de la pirámide supongamos que a
determinada hora la sombra mide 11 unidades de longitud, lo mismo podemos
hacer con la sombra de una estaca o del propio tales. Esto es, de un elemento
externo a la pirámide del que conozcamos su altura. Supongamos que la sombra de
Tales es de 4,5 unidades y su altura de 1,5 unidades de longitud pues con todos
estos elementos podemos medir la altura gracias al teorema de Tales para ver
esto situémonos desde otro punto de vista
justo detrás del propio Tales. Como la base de la pirámide mide 8 unidades su
mitad es 4 y sumandolo con la longitud de la sombra tenemos que la distancia
desde la base de la altura hasta la punta de la sombra es de 15 unidades de
longitud. Fijémonos que tenemos dos ejes, dos rectas que se cortan entre sí con
diferentes longitudes diferenciadas en color azul y rojo. Por un lado en azul
tenemos las sombras y por otro lado en rojo tenemos las alturas pero en el
teorema de Tales además de dos rectas que se cortan necesitamos dos rectas
paralelas, ¿dónde están en este diagrama las rectas paralelas? Dado que el sol
estar muy muy lejos sus rayos se proyectan de forma paralela sobre la
tierra formando las sombras, estas son nuestras rectas paralelas los rayos del sol.
Si nos olvidamos ahora de todo lo innecesario y nos quedamos sólo con las
rectas involucradas vemos que podemos aplicar el teorema de Tales. Y la altura
de la pirámide a, dividida entre su sombra 15, es igual a la altura de Tales
1.5 dividido entre su sombra 4.5 despejando de esta ecuación llegamos a
la solución la altura de la pirámide es de 5
unidades de longitud. Espero que esta aplicación del teorema
de Tales os haya parecido impresionante. En el próximo vídeo veremos más
aplicaciones sorprendentes de este teorema. ¡Hasta luego! 👋🏻
