Primer Teorema de Isomorfía para Conjuntos
¡Hola amigos matemáticos! Este vídeo está dedicado al siguiente Teorema sobre funciones.
Si tenemos una función f entre dos conjuntos. Siempre podremos escribirla
como composición de tres funciones. La primera de ellas será sobreyectiva,
la segunda biyectiva, y la última inyectiva. Lo sorprendente de este Teorema es que esto
se cumple para cualquier función f. Es decir, nuestro dato es una
función f entre dos conjuntos cualesquiera. Esta función no tiene porqué ser inyectiva ni
sobreyectiva, y por tanto su imagen puede ser un subconjunto propio del conjunto Y.
Pero esto nos da una idea. Dado que la última aplicación ha de ser inyectiva y por fuerza
ha de aterrizar en el subconjunto Imagen de f. Podemos empezar por el final definiendo
la función i minúscula como la inclusión de Imagen de f en el conjunto Y griega.
Ya vimos en anteriores vídeos que la aplicación inclusión de un subconjunto es siempre inyectiva,
y tendríamos así definida una de las tres funciones.
Definir la primera función, esto es, la aplicación sobreyectiva es un poco más complicado. Para ello
vamos a definir una relación binaria en X. Decimos que dos elementos x e y minúscula
del conjunto X están relacionados si sus imágenes en el conjunto Y coinciden,
esto es, f(x) igual a f(y). Lo que vamos a ver es que
esta relación así definida, es de hecho, una relación de EQUIVALENCIA.
Para ello, debemos comenzar probando la propiedad reflexiva que afirma que x está
relacionado consigo mismo. Esto es trivial ya que x está relacionado con x si y solo si f(x)
es igual a f(x) cosa que es obvia. Así que la propiedad reflexiva se cumple.
La propiedad simétrica se cumple si siempre que x está relacionado con y se tiene que
y también está relacionado con x. Veámoslo: que x esté relacionado con y es equivalente
a que f(x) es igual a f(y), pero esta igualdad podemos leerla al revés, esto es se tiene que
f(y) también es igual a f(x) lo que equivale a que y está relacionado con x. Perfecto.
Finalmente, la propiedad transitiva diría que si x está relacionado con y y además y
está relacionado con z entonces debe cumplirse que x esté relacionado con z. Vamos a verlo:
X relacionado con y equivale a f(x)=f(y). y relacionado con z equivale a f(y)=f(z). Juntando
estas dos igualdades tenemos una tercera igualdad, que f(x) es igual a f(z) lo que equivale a que x
está relacionado con z como queríamos probar. En definitiva, tenemos una relación de
equivalencia en X. Y como vimos en nuestro vídeo sobre relaciones de equivalencia,
esto equivale a dar una partición del conjunto: la partición dada por las clases de equivalencia.
Además, también vimos que el conjunto cociente,
no es más que el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia.
La diferencia entre X y el conjunto cociente de X por esta por la relación de equivalencia es
que en X las clases son SUBCONJUNTOS mientras que en el cociente las clases son ELEMENTOS.
La aplicación proyección de X en el cociente está definida enviando cada elemento de X en
su clase (vista como elemento del cociente). Si tenemos dos elementos de X, y y z,
que están relacionados los aplicaremos por p en la misma clase ya que al estar
relacionados pertenecen a la misma clase, claro. De este modo esta aplicación proyección no
tiene porqué ser inyectiva, pero es claramente sobreyectiva ya que cada elemento del cociente,
esto es, cada clase contiene algún elemento de X y por tanto este elemento verifica que
su imagen por p es justamente dicha clase. Ya solos nos queda definir la aplicación
biyectiva. A ver, tenemos que enviar la clase de x a algún elemento de la
imagen de f. Parece que la elección razonable sería definir b de la clase de x como f(x)
Pero tenemos que comprobar varias cosas: En primer lugar, que f esté bien definida.
Y en caso afirmativo que esta función es inyectiva y sobreyectiva, esto es, biyectiva.
¿Qué quiere decir que f esté bien definida? Si tenemos otro elemento y de X tal que su clase
sea la misma que la clase de x, tendríamos dos formas de definir b para una misma clase
¿son estas dos definiciones la misma? En caso contrario la función no estaría bien definida.
Veámoslo: dos clases eran la misma si y solo si sus representantes estaban relacionados.
Pero por definición, los elementos x e y están relacionados si f(x) es igual a f(y).
Pero esto equivale a decir que b de la clase de x es igual a b de la clase de y ya que justamente
Veamos ahora que b es inyectiva. Fijaos que no he borrado del todo el argumento
anterior para ver que b estaba bien definida. Ahora entenderemos porque
Para ver que una función b es inyectiva habría que comprobar que,
si dos elementos del dominio tienen la misma imagen, entonces estos dos elementos son el mismo.
El mismo argumento que vimos, pero siguiendo las implicaciones
en sentido contrario nos da la inyectividad. Para comprobar la sobreyectividad necesitamos
ver que cualquier elemento z del codominio es imagen de algún elemento del dominio.
Si z pertenece al codominio que en este caso es imagen de f. se tiene que z es
igual a f(x) para cierto x. Podemos tomar como C justamente la clase del elemento x.
De este modo b del elemento C es lo mismo que b de Clase de x. pero por definición b de clase de
x es f de x. Y f de x es justamente z y queda por tanto probada la sobreyectividad de b.
Ya tenemos definidas nuestras 3 funciones. Pero, ¿es verdad que f,
que aplica un elemento x del dominio en el elemento f(x) del codominio,
coincide con la composición p seguido de b seguido de i?
Comprobémoslo: x va a parar a la clase de x por medio de la proyección p.
A su vez la clase de x va a para a f(x) a través de la función b. Y finalmente la
inclusión envía f(x) en si mismo y hemos llegado al mismo elemento que llegaba la función f.
Queda por tanto probado que la función f coincide con la composición p seguido de b seguido de i.
Si te gustó el vídeo déjanos un like y suscríbete para estar al tanto de
nuevos vídeos de matemáticas ¡Hasta luego!
