天平 最大 的 秘密 ！老师 肯定 没 告诉 你！

各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師 最近 有個 小朋友 跟 我 說 他 剛剛 學習 了 天平 他 知道 天平 是 一個 等臂 杠桿 但是 他 突發奇想 如果 在 測量 的 時候 這個 物體 不是 放在 托盤 的 正 中央 此時 天平 就 不是 等臂 杠桿 了 那 測量 結果 會 不會 受到 影響 呢 換句話說 我們 使用 托盤 天平 的 時候 到底 要 不要 把 物體 和 砝碼 放在 托盤 的 正 中央 呢 我還 特意 做 了 一個 這樣 的 實驗 設備 大家 來看 一下 這是 一個 實驗 裝置 這個 實驗 裝置 就是 模擬 了 天平 的 這樣 的 一個 裝置 那 麽 我 現在 有 兩個 這個 牛奶 這個 牛奶 我 把 它 放在 大約 等 臂 的 位置 上 那 基本上 天平 就是 可以 平衡 了 對 吧 好 如果 我們 往外 拖 一些 只要 它 的 力臂 還是 相等 的 那 麽 它 依然 是 可以 平衡 的 對 吧 那 我 現在 問 一個 問題 假如 我 右邊 的 這 一盒 牛奶 不變 左邊 的 這個 牛奶 把 它 放在 托盤 上 這樣 力臂 就 會 大 一些 大家 想一想 天平 還會 不會 平衡 我們 松手 來看 一看 大家 看 天平 還是 平衡 的 對 吧 如果 我們 把 左邊 的 這個 再 往外 挪 挪到 這兒 我 再 松手 天平 還會 不會 平衡 呢 你 看 還是 平衡 的 有人 說 它 不等 高 那 咱 讓 它 等 高 一個 靠近 一個 遠 一點 再 松手 看 你 看 還是 平衡 的 有人 說 是不是 卡住 了 它 真 沒 卡住 你 看 我 一 松手 它 立刻 就 掉下來 對 吧 它 沒有 卡住 但是 它 確實 是 可以 保證 平衡 雖然 力臂 不 相等 就 好像 說 呀 你 如果 在 中間 這個 橫 梁上 放 它 要求 力臂 相等 才行 如果 你 放在 托盤 上 遠近 好像 沒什 麽 關系 對 不 對 你 看 沒什 麽 關系 誰 遠 誰 近 好像 區別 不是 很大 是不是 你 看 基本上 都 是 可以 平衡 的 對 吧 好 所以 這個 其實 和 天平 類似 也就是說 我們 初步 得出 的 結論 就是 物體 和 砝碼 放在 天平 的 什 麽 位置 其實 關系 不大 但是 這個 原因 到底 是 什 麽 呢 我們 來 研究 一下 這個 問題 我們 通常 認為 天平 就長 這個 樣子 這是 一個 桿 中間 立 了 一個 柱 然後 中間 這個 地方 是 可以 轉動 的 對 吧 然後 我 就 把 這 物體 放到 左右 兩側 左邊 放 一個 物體 這個 重量 m₁g 距離 叫 x₁ 然後 右邊 也 放 了 個 物體 m₂g 然後 力臂 是 x₂ 那 如果 你 要 想 平衡 的話 根據 力臂 相等 那 m₁gx₁ 應該 等於 m₂gx₂ 在 這種 情況 下 天平 就 應該 是 平衡 的 對 吧 如果 你 想 讓 它 質量 相等 的 平衡 那 就是 等臂 杠桿 x₁ 如果 等於 x₂ 的話 x₁=x₂ 時 就 一定 會 有 m₁=m₂ 所以 利用 等 臂 的 這個 天平 就 可以 測量 質量 但 實際上 天平 並 不是 長 這個 樣子 的 天平 長 什 麽 樣子 的 呢 它 是 跟 我 剛才畫 的 這個 裝置 差不多 的 它 是 實際上 是 一個 回 字形 的 杠桿 它 上下 各有 一個 橫梁 中間 再有 一個 支柱 在 支柱 底下 還有 一個 比較 重 的 物體 比較 重 的 物體 好 然後 在 左右兩個 橫 梁上 它 還有 一個 連接 它 形成 了 這樣 的 一個 日 字型 的 形狀 而且 這 六個 節點 都 是 可以 轉動 的 就 這 六個 節點 它 都 是 可以 轉動 的 那 也就是說 你 這個 東西 雖然 連 到 一塊 了 但是 你 可以 這樣 轉 對 吧 可以 這樣 轉 鉸鏈 相連 的 那種 情況 好 然後 我們 再 加 兩個 托盤 OK then we'll add two more trays 這個 托盤 是 放在 上面 還是 下面 還是 左邊 Is this tray on top, bottom, or left? 其實 沒 有關 系 我 這個 裝置 是 連接 到 左右兩個 立柱 上 My device is connected to the left and right columns 而且 這個 點它 是 固定 的 它 是 固定 的 意思 就是說 中間 的 這個 部位 它 是 不能 轉的 This part in the middle can't be turned 就是 我 這 兩個 我 這 兩個 裝置 我 就 這 麽 死死地 扣 在 一塊 These two devices of mine, I'm stuck together like this 你 要轉 就 一起 轉 對 吧 你 角度 是 不 能變 的 因為 它 這個 地方 是 定 死 的 好 現在 我 在 左側 我放 了 一個 物體 左側 我放 了 一個 物體 重量 是 m₁g 然後 我 就問 你 說 請問 這個 m₁g 對 整個 這個 裝置 會 有 什 麽 樣 的 影響 那 麽 這個 影響 很多 人 可能 會 想到 力臂 就 是從 中間 這個 軸線 到 左邊 這 m₁g 這 麽 長 對 吧 這個 其實 是 不 對 的 為什 麽 這 麽 說 呢 咱們 先 仔細 地 研究 一下 這個 物體 和 這個 托盤 這個 裝置 物體 和 托盤 這個 裝置 這是 一個 托盤 然後 左邊 放 了 一個 物體 這個 物體 受到 一個 力 就是 重力 m₁g 因為 它 受到 重力 的 作用 那 麽 整個 系統 要 往下掉 它 為 什 麽 沒有 往下掉 因為 受到 一個 向上 的 力 這個 向上 力誰給 的 立柱 給的 對 吧 所以 立柱 給了 這個 托盤 一個 向上 的 F₁ 這 F₁ 就是 m₁g 大小 是 一樣 的 但是 這 兩個 力 它 真的 能夠 平衡 嗎 不能 因為 這 兩個 力 等 大 反向 但是 不 共線 不 共線 的 兩個 力會 造成 一個 轉動 的 這樣 的 趨勢 叫做 力偶矩 那 麽 你 如果 沒有 其它 力 的話 它 就 會轉 它 為 什 麽 沒有 轉呢 咱們 仔細 思考 比如說 我 拿 著 一個 這個 牛奶 我 這個 手 這 麽 掐 著 它 按說 這個 牛奶 應該 掉下去 為什 麽 呢 因為 它 的 重力 是 作用 在 這兒 的 我 的 手 作用 在 這條 線上 它 為 什 麽 不 掉下去 呢 因為 我 的 手 除了 給它 一個 向上 的 力 以外 我 上下 兩根 手指 其實 還給 了 這個 牛奶 側向 的 力 上面 的 這個 手指 其實 我 是 往外 摳 的 底下 這個 手指 我 是 往 裏 送 的 就 這 麽 掐住 它 所以 它 才能 不 掉下去 同樣 道理 這個 桿它 是 有 厚度 的 然後 上面 的 這個 地方 會 受到 豎梁 一個 向 右 的 力 叫做 F₂ 底下 會 受到 向 左 的 F₂ 就是 這 兩個 力 它會 使得 這個 橫梁 這 麽 橫著往 順時針 的 方向 轉 你 又 往 逆時針 的 方向 轉 你 又 往 順時針 方向 轉 這 兩個 力偶矩 一 平衡 它 就 靜止 了 對 吧 就 保持 靜止 了 如果 要是 你問 我 怎 麽 算 的話 具體來講 計算 就是 兩個 力 等 大 反向 並且 它們 之間 有 一個 距離 這個 距離 比如說 叫做 x₁ 那 這樣的話 力偶矩 就 叫 m₁g 乘以 x₁ 這個 就是 重力 使得 這個 系統 逆時針 旋轉 的 力偶 那 麽 反過來說 我 這 兩個 力 這 兩個 力 的 力偶 就是 F₂ 再 乘以 兩個 F₂ 之間 的 距離 其實 就是 板子 的 厚度 Δh 所以 可見 是 F₂ 其實 比 m₁g 要 大 很多 不管 怎 麽 說 反正 這個 橫梁 這個 托盤 它 既 能 在 力 的 方向 保持平衡 另外 在 轉動 的 情況 下 它 也 能 保持平衡 但是 這個 力是 誰給 的 F₂ 誰給 的 是 豎 著 這個 梁給 的 對 吧 所以 我們 把 這豎著 梁畫 出來 豎著 的 這個 梁 它給 了 一個 托盤 向 右 和 向 左 的 F₂ 所以 它 反作用力 就是 向 左 和 向 右 的 F₂ 那 麽 這 兩個 力 又 會 怎 麽 樣 呢 又 會 使得 豎著 這個 梁 逆時針 旋轉 但是 豎著 的 梁 它 為 什 麽 沒轉 呢 因為 豎 著 的 梁 兩邊 還有 什 麽 還有 橫梁 所以 這個 橫梁 又給 了 這個 豎梁 一個 作用力 F₃ F₃ 這個 樣子 所以 這個 豎梁 既有 一個 逆時針 旋轉 的 力矩 又 有 一個 順時針 旋轉 的 力矩 所以 它 就 平衡 了 是不是 你還 可以 再 列出 方程 來 叫 F₂Δh=F₃L 知道 L 是 哪 一段 嗎 L 應該 就是 兩個 F₃ 之間 的 距離 對 吧 這個 豎梁 它 受到 這 兩個 F₃ 的 作用力 是 誰給 的 是 這個 兩根 橫梁給 的 對 不 對 好 那 咱們 來 分析 一下 這 兩根 橫梁 這 兩根 橫梁 這 兩根 橫梁 它給 了 這個 豎梁 作用力 向 左 的 F₃ 所以 它 反過來 受到 一個 就 向 左 的 F₃ 對 吧 底下 這根 受到 一個 向 右 的 F₃ 好 我們 看 這 兩個 力 按說 應該 是 使得 這個 系統 轉動 的 但 實際上 這 兩個 力是 不會 使 系統 轉動 的 為什 麽 呢 大家 仔細 看 這個 F₃ 它 是過 中間 這個 軸的 所以 這個 F₃ 它 是 沒有 力臂 的 它過 中間 這個 轉軸 它 不會 使 上面 這個 桿 發生 轉動 對 不 對 只要 中間 的 這個 軸再給 橫梁 一個 向 右 的 F₃ 就 可以 了 這樣的話 這個 橫梁 就 平衡 了 而且 它 不 轉動 因為 這個 力 都 是 共線 的 對 吧 底下 也 是 一樣 底下 這個 橫梁 說 到 一個 向 右 的 F₃ 它 為 什 麽 不動 因為 中間 這個 豎 梁給 它 一個 向 左 的 F₃ 這樣一來 這 兩根 梁它 也 不動 了 是不是 這 兩根 梁 也 不動 了 那 有人 說 那 你 這 兩個 梁不動 了 你 這 兩個 F₃ 誰給 的 中間 這個 軸給 的 那好 咱們 最後 再 把 中間 這個 軸畫 出來 中間 的 這個 軸 它 受到 了 兩個 力 不 共線 保持 不 動 一個 力是 向 左 的 F₃ 為什 麽 呢 因為 這個 豎 梁給 了 橫梁 向 右 的 F₃ 所以 橫梁給 豎梁 向 左 的 F₃ 對 吧 同樣 道理 這邊 有 一個 向 右 的 F₃ 你 這 兩個 力 難道 不會 使得 中間 這個 軸 發生 轉動 嗎 還真 不會 為什 麽 呢 因為 托盤 很 重 這 底下 這個 座 很重 底下 這個 座 很重 你 這 兩個 力是 使 這個 系統 這 麽 轉的 對 不 對 但是 我 這個 座 很重 所以 我 有 一個 重力 叫 Mg 我 只 需要 讓 我 地面 的 支持力 稍微 往右 挪 那 麽 一點點 在 這對 不 對 在 這兒 就行了 你 這樣一來 你 就 會 發現 此時 這 兩個 力 構成 的 力偶 正好 可以 跟 這個 F₃ 的 力偶 平衡 掉 我們 說 F₃ 再 乘以 上下 之間 距離 叫 L 它 應該 等於 Mg 再 乘以 這 兩個 之間 的 距離 這 兩個 之間 的 距離 我們 管它 叫 a 是 吧 換句話說 咱們 仔細 琢磨 琢磨 你 這個 物體 放在 托盤 的 不同 位置 到底 造成 什 麽 影響 你 這個 物體 放在 托盤 的 不同 位置 就是 這個 距離 x₁ 不 一樣 你 這 x₁ 不 一樣 就是 使 這個 托盤 轉動 的 這個 力偶 不 一樣 也 就 造成 了 F₂ F₃ 不 一樣 造成 了 最後 使得 中間 這個 豎梁 轉動 的 力偶 不 一樣 不過 沒 有關 系 你 不 一樣 我 也 只是 造成 我 這個 支持力 對 吧 支持力 的 位置 作用點 稍微 有點 變化 使得 這個 a 不 一樣 所以 你 這個 重物 輕 一點 我 這個 支持力 就 更 靠近 中間 你 這個 重物 重 一點 我 就 支持力 就 更 靠右 只要 你 這個 重物 不是 非常 重 不足以 把 我 這 東西 弄倒 的話 我 總是 可以 平衡 掉 的 所以 到 目前 為止 你 放 的 位置 就 沒 有關 系 了 對 吧 那 你 放 的 位置 沒 有關 系 重量 到底 有沒有 關系 重量 還是 有關 系 的 因為 我 剛才還 沒有 分析 一個 力 就是 這個 F₁ 這個 F₁ 是 豎梁 作用 在 托盤 上 的 對 吧 它 反過來 也 會 把 這個 力反作 用於 豎 梁上 換句話說 轉動 被 抵消 了 之後 只 剩下 一個 m₁g 而 這個 m₁g 相當於 作用 在 這根 梁上 同樣 道理 你 在 右側 托盤 上 你 不管 放在 哪 你 放在 任何 一個 位置 你 放 一個 重物 m₂g 它 其實 都 相當於 是 作用 在 這個 點 m₂g 這樣一來 的話 其實 你 放在 哪 就 沒 有關 系 了 你 放在 不同 的 位置 它 的 這個 轉動 的 情況 已經 被 抵消 掉 了 就 被 底下 這個 重物 抵消 掉 了 而 它 這個 豎直 方向 的 這個 力 就 相當於 是 作用 在 這個 地方 因此 放在 托盤 上 的 任何 位置 它 的 這個 力臂 都 相當於 是 相等 的 托盤 天平 其實 也 是 這樣 的 一個 道理 它 上面 有 一個 橫梁 它 底下 還有 一個 橫梁 中間 靠 立柱 連接 形成 了 一個 這樣 的 日 字形 的 結構 所以 你 把 這個 物體 放在 托盤 天平 的 不同 位置 其實 測量 結果 都 是 一樣 的 那 麽 這種 問題 我們 在 平時 上課 的 時候 可能 大家 沒有 仔細 的 想過 是 吧 你 應該 在 學習 的 過程 中多 去 考慮一下 這些 問題 ||||||more in||||