向前走 还是 向后走 ？用 自行车 做 一个 有趣 的 物理 实验
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
上 壹 回 咱們 講了 自行車 中 的 物理學 之後
很多 小朋友 給我 發來 私信
比如 有壹個 小孩 就 跟 我 說
他 和 他 的 小夥伴 做 了 壹個 實驗
把 自行車 放在 地面 上
然後 用手 按 著 下方 的 腳蹬子 向 後 推
結果 有 的 自行車 就會 順著力 的 方向向 後 運動
但 也 有 的 自行車 往後 推 的 時候
它 反而 會 向前走
他 想問 我 這個 現象 到底 是 怎 麽 回事兒 呢
那 我們 首先 來 做 壹個 實驗
妳 看 現在 我 這個 腳蹬子 在 底下
這個 是 倒 著轉 倒 著轉 肯定 不 走 了
但 我 放 底下 之後
我 讓 它 往 這推
大家 看 它 就 會 倒 著 走
我 這手 確實 是 往後 的
但是 輪子 它會 倒 著 走
那 反過來說
如果 我 要是 這個 輪子 在 頂上 我 往前 推 的話
它 就 會 這 麽 走
現在 看起來 好像 是 這樣
妳在 底下 推 底下 踩 它 往 後退
妳 再 正著 踩 它 就 往前走
但是 大家 註 意 看
如果 我 把 這個 輪子 放到 最 右邊
右下 的 這個 位置
它 是 不 走 的 能 看 出來 嗎 妳 看
它 是 不 走 了
哈哈哈哈 ...
真的 是 不 走 了
然後 妳 再 稍微 靠 壹點 它 就 往前走
然後 妳 要 在 底下 的話 它 就 往 後退
但是 確實 有 那 麽 壹個 部位 它 是 不 走 的
如果 要是 我 再 找 壹個 另外 的 部位
看 這個 部位 這個 部位 會 走
這些 部位 好像 都 走
好像 都 走 妳 看 這樣
這些 個 部位 它 都 走
就是 在 這個 地方
有 那 麽 壹個 地方 它 是 不 走 的
那 麽 大家 能 不能 把 這個 部位 求 出來
我 覺得 這是 壹個 很 有意思 的 問題
大家 看 我 這個 實驗 中
我 向 後 推 這個 腳蹬子 自行車 是 向 後 運動 的
但是 這個 腳蹬子 卻 反著轉
說 這 到底 是 怎 麽 回事兒 呢
今天 我們 就 來 研究 壹下 這個 問題
我們 首先 還是 來畫 壹輛 自行車
這有 壹輛 自行車 在 地面 上
這個 自行車 它 有 壹個 後輪 還有 壹個 後軸
有壹個 中軸
然後 還有 壹個 腳蹬子 對 吧 腳蹬子
然後 它 還有 個 前輪
但 這 前輪 並不 重要 因為 前輪 是從 動輪
自行車 主要 的 這個 動力 都 是 來源於 後輪 的
所以 我們 其實 幾乎 不 需要 去 管 這個 前輪
好 這個 就是 壹個 自行車 了
我 現在 推著 這個 腳蹬子
我 向 後 施加 壹個力 的 作用
大家 要 註 意 我 向 後 施加 壹個力
理論 上 來講
它 這個 腳蹬子 壹定 是 要 向 後 運動 的 對 不 對
然後 我 就問 整個 這個 自行車 是 向 哪 運動 的
就問 這 麽 壹個 問題
首先 我們 先 明確 壹個 概念
如果 我們 從 相對 於 地面 的 這個 角度 來看
我 向 後 對 腳蹬子 施加 壹個力
這個 腳蹬子 它 必須
比如 這個 點 設它 A
這個 A 點它 必須 是 向 左 運動 的
vᴀ 必須 是 向 左 的
為什 麽 vᴀ 必須 得 是 向 左 的 呢
這是 因為 我力 向 左
我 只有 速度 也 向 左 我 才能 做 正功
這個 正功 就是 力 再 乘以 A 點的 運動 距離
我 必須 得 做 正功 我 只有 人 對 A 點做 了 正功 了
這個 車才 會 具有 動能 它 才能 動 起來
所以 不管 這個 車 怎 麽 動
反正 這個 腳蹬子 相對 於 地面
它 必須 是 往 左 走 的
這是 前提 如果 妳 不是 往 左 走 的話
那 這個 車 根本 就動 不 起來 好 吧
但是 這個 車 確實 是 不壹 定往 哪兒
我們 不妨 就 假設 假設 這個 車它 是 往右 動 的
我們 假設 這個 車是 向 右動 的
我們 要 設出 壹些 未知數 來
設 車速 v 是 向 右 的 對 吧 設 車速 v 是 向 右 的
那 麽 在車 往右 運動 的 過程 之中
其實 這 兩個 軸都 在 旋轉 對 吧
我們 假設 中軸 的 旋轉 角速度 叫 ω₁
它 是 順時針 的
後輪 的 旋轉 角速度 是 ω₂
它 跟 後軸 也 是 壹樣 的 對 吧
所以 有 ω₁ 和 ω₂ 它 是 順時針 的
當然 這 只是 設 的 順時針 它 不壹 定 真的 順時針
還有 就是 這個 半徑
這個 腳蹬子 的 半徑 我們 設 它 為 r₁
腳蹬子 的 半徑 叫 r₁
然後 這個 中軸 的 半徑 我們 設 它 為 r₂
然後 後軸 的 半徑 我們 設為 r₃
後輪 的 半徑 我們 設為 r₄
所以 四個 半徑 r₁ r₂ r₃ r₄
我們 也 都 設 出來 了
好 現在 我們 就 來 分析 這個 物理 過程
首先 我們 先來 想
我 踩 腳蹬子 之後 腳蹬子 就 轉圈
壹 轉圈 帶動 中軸 轉
中軸 帶動 鏈條 鏈條 帶動 後軸
所以 說 後軸 和 中軸 它們 的 速度 應該 是 壹樣 的
因此 我們 從 鏈條 上 看
就 能 看 出來 後軸 和 中軸 速度 壹樣
也 就是 中軸 的 速度
我們 學過 高中 都 知道
角速度 乘以 半徑 就是 速度 對 吧
中軸 的 速度 是 ω₁ 乘以 中軸 的 半徑 r₂ 對 吧
它 等於 後軸 的 速度 是 ω₂ 乘以 後軸 的 半徑 r₃
好 這是 第壹個 方程 從 鏈條 上 看 的
然後 我們 再 來看 後輪
這個 後輪 它 是 接觸 地面 的 對 吧
接觸 地面 的 時候
後輪 首先 它 隨著 自行車 往前 有壹個 運動 速度
這個 運動 速度 是 它 隨著 自行車 往前走
有個 速度 v
同時 它還 往後 轉
往後 轉有 壹個 速度 叫做 ω₂r₄ 對 不 對
所以 自行車 貼 地面 這個 點的 速度
是 這兩 個數 作差
但是 因為 它 貼 著 地面
所以 呢 所以 地面 沒有 動 這個 點 速度 是 0
這事 我們 以前 講過 對 吧
所以 通過 後輪 的 分析
我們 就 知道 接觸 地面 那個 點
它 的 速度 減去 ω₂r₄
它 雖然 是 壹邊 轉壹邊 往前走
但 它 合速度 貼 地面 那個 點它 得 是 0
這 就是 第二個 方程 對 吧
第三個 方程 就是 A 點的 速度 了
我們 再來 分析 這個 腳蹬子 這個 踏板 踏板
分析 最 底下 這個 踏板
最 底下 踏板 它 的 速度 叫 vᴀ
這個 vᴀ 也 是 兩個 速度 的 合成
壹個 是 妳 往後 旋轉
有壹個 速度 叫 ω₁ 再 乘以 踏板 的 半徑 應該 是 r₁
然後 再 減去 壹個
妳 向前 跟 著車 壹 起 往前走 的 速度 叫 v
好 我們 得到 的 三個 方程
那 麽 妳 通過 這 三個 方程 去 求解 是 吧
妳 把 這個 vᴀ 裏邊 的 這個 ω₁ 換成 ω₂
妳 再 把 這個 ω₂ 換成 v 妳 最後 就 會 得到
vᴀ 的 表達式
它 是 什 麽 呢
它 是 (r₁r₃-r₂r₄)/(r₂r₄) 再 乘以 壹個 自行車 的 速度 v
我們 假設 的 時候 這個 vᴀ 是 朝 左 的 是 向 後 的
而 這個 vᴀ 是 向 右 的 對 吧
我們 假設 vᴀ 是 朝 左
我們 說 vᴀ 必須 得朝 左
要 不然的話 這功 就 沒法 做 了
而 這個 v 我 假設 的 向 右 它 就 不壹 定向 右
它 也 可能 是 向 左 的 是不是
我們 來 分析 分析 說 這個 情況 怎 麽 進行 分析
我們 來看 壹下 這裏 涉及 到 壹些 數學 的 概念
如果 這裏 邊 這個 前面 那個 系數
它 是 正 的 r₁r₃-r₂r₄ 它 是 大於 0 的
大於 0 的 意思 就是 當 vᴀ 大於 0 的 時候
那 麽 v 也 大於 0
v 大於 0 說明 我們 假設 是 正確 的
就 這個 v 它 真的 是 往右 的
往右 是 什 麽 方向 是 往前 吧
所以 這個 車就 前進
前進 的 意思 就是 我們 向 後 推 這個 腳蹬子
向 後 推 這個 底下 這個 腳蹬子
結果 這個 車它 就 會 往前走
是不是 它 就 會 往前走
那 麽 壹般 什 麽 時候 會 出現 這種 情況 呢
如果 妳 要求 這個 數 大於 0 吧
它 就 必須 得 要求
壹般 來講 是 r₃ 比較 大 r₂ 比較 小
r₃ 比較 大 就是 這個 大 對 吧
r₂ 比較 小 是 這個 小 大家 知道 嗎
如果 後軸 它 的 半徑 大 中軸 的 半徑 小 的話
它 實際上 這個 自行車 是 在 壹個 什 麽 檔位
是 在 高速 檔位 低速 檔位
是 低速 檔位 是 吧
這個 r₂ 比較 小 r₃ 比較 大 是不是
這個 時候 其實 是 低速 檔
壹個 自行車 如果 是 變速 的
它 如果 在 低速 檔 的 時候 就 會 出現 這種 情況
當然 另外 壹種 情況
假如 說 這個 r₁r₃-r₂r₄
它 是 小於 0 的 呢
在 這個 時候 妳會 發現 我 如果 vᴀ 是 正 的
它 v 必須 是負 的 對 不 對
v 必須 是負 的
v 是負 的 什 麽 意思
我 假設 向 右
但 實際上 妳 不是 妳是 向 左 的
向 左 就是 向 後 也 就是 妳會 後退
這 就是 我們 向 後 推 腳蹬子
結果 這個 車 整個 後退 了
車在 後退 的 過程 中 這個 腳蹬子 會 倒 著轉
所以 我 看起來 好像 我 壹 推 腳蹬子 腳蹬子 往前走
但 實際上 不是 這 腳蹬子 雖然 是 倒 著轉
但 它 相對 於 地面 它 還是 往 左 的
妳 明白 這個 道理 嗎
這個 向 左 運動 是 自行車 它會 後退
什 麽 時候 出現 這種 情況
那 就是 r₃ 比較 小 r₂ 比較 大 的 時候
這個 時候 實際上 是 在 自行車 的 高速 檔位
所以 檔位 不壹 樣
妳 就 會 出現 兩種 不同 的 結果 是 吧
如果 妳 家裏 有 這個 變速 車 的話
妳 可以 試壹試 把 它 放 地面 上
調 成 不同 檔位 然後 在 底下 往後 推 這個 腳蹬子
妳 看看 它 到底 是 前進 還是 後退 是 吧
當然 還有 壹種 情況
還有 壹種 比較 特殊 的 情況
如果 r₁r₃-r₂r₄ 正好 等於 0
這個 時候 就 比較 奇葩 了
這個 時候 妳 無論 這個 車速 是 多少
這個 vᴀ 都 必然 等於 0
而 vᴀ 等於 0 這件 事是 不合理 的
因為 vᴀ 等於 0 人 就 不能 做功 對 不 對
人 不能 做功
這個 時候 車 怎 麽 著 車就 不能 動
這個 時候 妳會 發現 妳 怎 麽 推 腳蹬 它動 不了
它 既 不能 往前 也 不能 往後
我 說 那 我 就 使勁 推
妳 要 壹 使勁 推 吧
這個 地面 它 就 會 打滑 它 就 會 打滑
妳 可以 試壹試
調到 某壹個 部位 的 時候 往後 推 腳蹬子
車既不 往前走 也 不 往後走 它會 打滑 是 吧
比如說 我 那個 自行車
它 應該 是 這個 高速 擋位 的 這個 自行車
它 滿足 的 時候 我 往後 壹 推
結果 它 就 後退 這種 情況 對 吧
好 那 麽 在 高速 擋位 的 時候
其實 也 有 壹些 角度
妳 推 這個 腳蹬 它 是 動 不了 的
哪個 角度 呢
就是 妳 看 假如 這是 壹個 中軸
我們 把 這個 腳蹬子 不是 豎著 的 時候 推
而是 斜著 的 時候 推
斜著 的 時候 它 跟 豎直 方向 夾了 壹個 角度 θ
這個 時候 腳蹬子 受到 壹個力 的 作用
這個 力 的 作用 是 跟 它 垂直 的 方向 的
同時 它 具有 兩個 速度
壹個 是 跟 著 自行車 壹起 往前 的 速度 v
還有 壹個 是 旋轉 的 速度 叫 ω₁ 再 乘以 r₁
如果 這 兩個 速度 壹 合成
正好 是 怎 麽 著
正好 是 沿著 這個 腳蹬子 的 方向
這個 時候 妳 就 會 發現
此時 我 在 左上方 施加 壹個力
結果 它 的 合速度 方向 是 這個 方向
它 倆 互相 垂直
就 會 出現 力 垂直 速度 的 情況
所以 它 也 動 不了 它 也 動 不了
我 也 做 了 這個 實驗
就是 當我去 這某 壹個 角度 去 推 的 時候
這個 自行車 是動 不了 的 然後 它 就 打滑 是 吧
那 具體來講 這個 角度 怎 麽 算
如果 這個 角是 θ 那 麽 這個 角度 也 是 θ
很 好 算 cosθ 其實 就 等於 ω₁r₁ 再 除以 壹個 速度 v
如果 我們 把 速度 v 換成 ω₂r₄ 再 把 ω₂ 和 ω₁ 約 掉
它 最後 的 結果 就是 r₁r₃/(r₂r₄) 是 吧
所以 總會 有 那樣 的 壹個 角度
在 這個 角度 上 妳 推車 是 推不動 的
當然 前提 是 妳 必須 滿足 這壹條
如果 妳是 滿足 上面 這壹條 的話
它 不會 出現 這種 情況
所以 大家 看 自行車 中
其實 還是 有 很多 有趣 的 物理 問題 的
比如 這個 問題 大家 就 可以 拿 自行車 去 嘗試 壹下
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