Μαθηματικά | Διαιρέτες φυσικού αριθμού & Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης | ΣΤ' Δημοτικού Επ. 15
Γεια σας, παιδιά!
Θα κάνουμε σήμερα Μαθηματικά της Στ' τάξης.
Αφορά το κεφάλαιο 1.12, όπως το βλέπετε ήδη στην οθόνη σας,
και στη συνέχεια θα πούμε για κάποιες άλλες ενότητες...
έτσι ώστε να έχουμε μια ολοκληρωμένη άποψη
για το μέγιστο κοινό διαιρέτη, για τους διαιρέτες...
και τα κριτήρια διαιρετότητας για τα οποία θα πούμε στη συνέχεια.
Θα ξεκινήσουμε λοιπόν σήμερα με τους διαιρέτες ενός αριθμού...
και με το τι είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης.
Αντιλαμβάνεστε από τη λέξη και μόνο,
τις λέξεις που χρησιμοποιώ, ότι έχουμε να κάνουμε με διαίρεση.
Πάμε λοιπόν να δούμε ένα πρώτο πρόβλημα,
και να δούμε πώς προσεγγίζουμε τη διαίρεση σε σχέση...
με τον μέγιστο κοινό διαιρέτη και το τι είναι αυτό.
Μας λέει λοιπόν ότι σε ένα ζαχαροπλαστείο ετοιμάζουν συσκευασίες με διάφορα γλυκά.
Έχουν 40 τρουφάκια, 48 εκλέρ και 32 καριόκες.
Μοιράζουν τα γλυκά με τέτοιο τρόπο -προσέξτε όμως-,
ώστε όλα τα κουτιά να είναι ίδια μεταξύ τους.
Να είναι όσο το δυνατόν περισσότερα...
και να μην περισσεύει κανένα γλυκό.
Πρέπει λοιπόν να βρούμε εμείς έναν τρόπο...
με τον οποίο θα μοιράσουμε τα γλυκά αυτά,
ώστε κανείς να μην μείνει παραπονεμένος...
και σε κάθε κουτί να υπάρχουν ακριβώς ίδιες ποσότητες.
Πάω λοιπόν να γράψω...
τα νούμερα τα οποία σας είπα.
Και είναι: 40 τρουφάκια.
Τα σημειώνω.
40 τρουφάκια.
48 εκλέρ.
32 καριόκες.
Τι θέλουμε να κάνουμε εμείς;
Θέλουμε να μοιράσουμε αυτά τα γλυκά σε συσκευασίες,
που η κάθε συσκευασία θα έχει ακριβώς την ίδια ποσότητα από το κάθε είδος.
Προσέξτε λοιπόν πώς πρέπει να ξεκινήσουμε.
Έχουμε τρεις αριθμούς. Τρεις ακεραίους αριθμούς.
Το 40, το 48 και το 32.
Πάμε να βρούμε λοιπόν τους διαιρέτες του καθενός.
Τι σημαίνει διαιρέτης;
Διαιρέτης είναι ο αριθμός που διαιρεί ακριβώς τον καθέναν από αυτούς.
Γράφουμε το γράμμα Δ, που σημαίνει διαιρέτης,
και πάμε να βρούμε τους διαιρέτες του 40.
Προσέξτε! Ο πιο εύκολος τρόπος για να μην ξεχάσουμε κάποιον, είναι ο εξής:
Ξεκινάμε πάντα και λέμε ότι οι διαιρέτες ενός αριθμού είναι πάντα ο ίδιος και το 1.
Άρα, τι κάνω εγώ όταν διδάσκω στα παιδιά της τάξης μου;
Γράφω το πρώτο ζευγάρι. Τον αριθμό 1 και μακριά το 40.
Γιατί; Γιατί είναι οι δύο οι οποίοι σίγουρα διαιρούν το 40.
Πάμε να δούμε μετά το 1, ο αριθμός 2 διαιρεί το 40;
Ακριβώς! Βεβαίως το διαιρεί.
Με ποιο; Το 2 χωράει στο 40 πόσες;
20 φορές. Άρα πάω και γράφω και το ζευγαράκι του.
Έχουμε λοιπόν το 2 και το 20.
Προχωράμε. Το 3 στο 40; Όχι.
Το 4; Βεβαίως. Γιατί;
Γιατί από την προπαίδεια εσείς ξέρετε,
ότι 4 Χ 10 = 40.
Άρα το επόμενο ζευγάρι είναι το 4 και το 10.
Προχωράμε. Υπάρχει άλλος διαιρέτης;
Βεβαίως υπάρχει. Ποιος είναι;
Το 5.
Με ποιο είναι το 5 που αν πολλαπλασιαστεί ακριβώς μου δίνει το 40 από την προπαίδεια;
Το 8.
Άρα συγκέντρωσα όλους τους διαιρέτες του 40.
Προχωράμε, παιδιά, με τον ίδιο τρόπο στους διαιρέτες του 48.
Τι είπαμε λοιπόν; Ξεκινάμε με το 1 και τον ίδιο τον αριθμό σε απόσταση, το ζευγάρι.
Ο επόμενος αριθμός που διαιρεί; Το 2.
2 φορές πόσο που κάνει 48;
2 Χ 24 = 48.
Προχωράμε με το 3.
Το 3 στο 48 χωράει;
Βεβαίως χωράει. Πόσες;
16 φορές.
Πάμε στο 4.
Το 4 χωράει στο 48;
Βεβαίως. Πόσες; 12.
Πάμε να δούμε, με το 5 έχουμε;
Όχι. Με το 6;
Βεβαίως έχουμε με το 6. Γιατί;
Γιατί από την προπαίδεια γνωρίζουμε ότι 6 Χ 8 = 48.
Πάμε λοιπόν να δούμε και το 32.
Τους διαιρέτες του 32.
Επαναλαμβάνω ότι ξεκινάμε με το 1 και τον ίδιο τον αριθμό το 32.
Με το 2 βεβαίως. Γιατί;
Γιατί 2 Χ 16 = 32.
Πάμε με το 3. Όχι.
Με το 4; Βεβαίως. Γιατί;
4 Χ 8 = 32.
Με το 5;
Όχι. Με το 6;
Όχι. Με το 7;
Όχι. Με το 8;
Το έχουμε ήδη γραμμένο.
Άρα έχουμε συγκεντρώσει και τους διαιρέτες του 32.
Προσέξτε τώρα τι κάνουμε!
Έχουμε τους διαιρέτες όλων των αριθμών που ζητήσαμε.
Του 40, του 49 και του 32.
Πάμε λοιπόν και βλέπουμε ποιοι είναι οι κοινοί.
Τι σημαίνει κοινοί; Κοινοί, παιδιά, σημαίνει ίδιοι.
Ποιοι είναι οι ίδιοι διαιρέτες;
Είναι λοιπόν το 1.
Είναι το 2.
Είναι το 4.
Το 5 βλέπουμε ότι δεν είναι σε όλους τους αριθμούς.
Το ίδιο και το 6.
Ο αμέσως επόμενος που υπάρχει είναι το 8.
Και από εκεί και πέρα έχουμε:
το 10, το 12, το 20 κλπ δεν είναι. Σταματάμε λοιπόν στο 8.
Προσέξτε! Έχουμε λοιπόν τους ίδιους, τους κοινούς, τους έχουμε υπογραμμίσει.
Θέλω από αυτούς τους κοινούς, τους ίδιους,
να βρω ποιος είναι ο μεγαλύτερος.
Νάτος ο μεγαλύτερος.
Άρα ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (ΜΚΔ) των αριθμών:
40, 48, 32 είναι ο 8.
Τι σημαίνει όμως αυτό σε σχέση με τα ερωτήματα που θέσαμε στο πρόβλημα που ξεκινήσαμε;
Ότι εμείς μπορούμε να φτιάξουμε 8 συσκευασίες.
8 συσκευασίες γιατί;
Γιατί ο μεγαλύτερος ίδιος, κοινός διαιρέτης αυτών των αριθμών είναι το 8.
Ναι, αλλά στη κάθε συσκευασία τι θα βάλουμε μέσα;
Πάμε λοιπόν να απαντήσουμε στο κάθε ένα κουτί...
που θα φτιάξουμε, πόσα είδη θα βάλουμε μέσα.
Τι θα πούμε λοιπόν, παιδιά;
Πάμε να δούμε. Είπαμε ότι ο ΜΚΔ είναι το 8.
Δηλαδή, θα φτιάξω 8 συσκευασίες.
Άρα από τα 40 τρουφάκια, αν εγώ τα διαιρέσω με το 8,
στο κάθε κουτί τι θα βάλω μέσα;
5 τρουφάκια.
Από τα 48 εκλέρ, αν διαιρέσω δια 8,
θα βάλω πόσα; 6.
Και από τις 32 καριόκες θα πρέπει να βάλω πόσες;
32 : 8 = 4 καριόκες.
Αυτή είναι μία πρώτη προσέγγιση.
Πάμε να δούμε άλλο ένα πρόβλημα,
έτσι ώστε να έχουμε μια πιο ολοκληρωμένη άποψη.
Και το διαβάζουμε μαζί.
Έχουμε έναν βιβλιοπώλη ο οποίος θέλει να φτιάξει όσο το δυνατό περισσότερα...
όμοια πακέτα με χρωματιστές πλαστελίνες.
Έχει 48 κόκκινες και 36 κόκκινες πλαστελίνες.
Πόσα πακέτα θα φτιάξει χωρίς να του περισσέψει καμία πλαστελίνη;
Θα δουλέψουμε ακριβώς με τον ίδιο τρόπο.
Δηλαδή τι θα κάνουμε;
Θα πάμε να βρούμε από τις πλαστελίνες μας...
τον ακέραιο αριθμό, τους διαιρέτες του καθενός.
Έχουμε λοιπόν πλαστελίνες οι οποίες είναι:
48 πράσινες και 36 κόκκινες.
Πάμε με τον ίδιο τρόπο που είπαμε πριν να βρούμε τους διαιρέτες των αριθμών.
Έχουμε τους διαιρέτες του 48.
Ξεκινάμε είπαμε το 1 και τον εαυτό του.
Με το 2. Στο 48 πόσες; 24.
Με το 3. Πόσες; 16.
Με το 4.
Πόσες; 12.
Έχουμε και το 6 και το 8.
Λίγο το κόλλησα εκεί, δεν πειράζει, το βλέπετε.
Οι διαιρέτες λοιπόν του 48 είναι αυτοί.
Πάμε να δούμε του 36.
Οι διαιρέτες του 36 είναι το 1 και το 36.
Είναι το 2 και το 18.
Είναι το 3 και το 12.
Και επειδή υπάρχει κι άλλος ένας αριθμός...
ο οποίος, αν τον πολλαπλασιάσω με τον εαυτό του μου δίνει 36,
είναι και το 6.
Τι θα κάνουμε λοιπόν;
Θα πρέπει να βρούμε τους κοινούς διαιρέτες.
Τι είπαμε ότι είναι οι κοινοί διαιρέτες; Οι ίδιοι.
Για να τους υπογραμμίσουμε!
Είναι το 1, είναι το 2, είναι το 3.
Το 4 δεν είναι κοινό. Είναι το 6.
Το 8 δεν είναι κοινό. Και το 12.
Μετά έχουμε 16, 24, 48, 18, 36.
Τι πρέπει να κρατήσουμε, παιδιά, εμείς από αυτό;
Πρέπει να κρατήσουμε το μεγαλύτερο.
Ποιος είναι ο μεγαλύτερος; Είναι το 12.
Άρα τι θα πρέπει να γράψω;
Ότι ο ΜΚΔ των αριθμών 48 και 36 είναι το 12.
Τι σημαίνει αυτό;
Σημαίνει ότι ο βιβλιοπώλης θα πρέπει να φτιάξει 12 συσκευασίες.
Οι οποίες μέσα τώρα πρέπει να δούμε τι θα έχουν.
Πώς θα το κάνουμε αυτό;
Θέλουμε να βρούμε πόσες πράσινες πλαστελίνες θα βάλει.
Και πόσες κόκκινες.
Πόσα πακέτα θα φτιάξει;
12. Άρα το 12 στο 48 χωράει 4 φορές. Άρα θα βάλει 4 πράσινες πλαστελίνες.
Και το 12 στο 36 χωράει 3 φορές.
Θα βάλει λοιπόν πόσες κόκκινες; Τρεις.
Καταλαβαίνετε λοιπόν ότι ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βρίσκουμε εμείς...
τους διαιρέτες και τον ΜΚΔ είναι πάρα πάρα πολύ απλός.
Πάμε να δούμε στα Μαθηματικά τι σημαίνει διαιρέτης και τι ΜΚΔ.
(Η δασκάλα διαβάζει την πρώτη παράγραφο)
(Η δασκάλα διαβάζει τη δεύτερη παράγραφο)
Θα μου πείτε, "εγώ όταν θα πρέπει να βρω τον ΜΚΔ, θα πρέπει να κάνω όλο αυτό;".
Προσέξτε, παιδιά.
Υπάρχουν βασικά τρεις τρόποι για να βρούμε τον ΜΚΔ.
Εμείς σήμερα θα πούμε τους δύο τρόπους.
Και τον τρίτο τρόπο θα τον πούμε όταν θα κάνουμε τα κριτήρια διαιρετότητας...
και θα μπορούμε να κάνουμε ανάλυση ενός αριθμού σε πρώτους παράγοντες.
Σήμερα λοιπόν, προχωράμε, θα πούμε πώς μπορούμε να βρούμε τον ΜΚΔ των αριθμών.
Ο ένας τρόπος είναι αυτός ο οποίος σας έδειξα στα προβλήματα που μόλις λύσαμε.
Πάμε λοιπόν να δούμε άλλο ένα μικρό παράδειγμα.
Και να δούμε και έναν καινούργιο τρόπο εκτός από τους διαιρέτες,
ο οποίος είναι και πολύ - πολύ πιο εύκολος και πολύ - πολύ πιο σύντομος.
Μας δίνει, το βλέπετε ήδη, να βρούμε τους διαιρέτες των αριθμών:
24, 36 και 96.
Θέλω λοιπόν να βρω τους διαιρέτες του 24,
τους διαιρέτες του 36 και τους διαιρέτες του 96.
Πάμε λοιπόν να βρούμε τους διαιρέτες με τον ίδιο τρόπο που είπαμε πριν.
Και μετά θα πούμε και τον δεύτερο τρόπο.
Οπότε θα γράψουμε εδώ: πρώτος τρόπος.
Μετά θα λύσουμε δίπλα και με τον δεύτερο τρόπο. Για να δούμε.
Πάμε να δούμε τους διαιρέτες του 24.
Είναι το 1 και ο εαυτός του.
Είναι το 2 και το 12.
Είναι το 3 και το 8.
Είναι το 4 και το 6.
Πάμε να δούμε τους διαιρέτες του 36.
Έχουμε το 1 και το 36.
Έχουμε το 2 και το 18.
Έχουμε το 3 και το 12.
Ο επόμενος διαιρέτης του 36 είναι το 4.
Γιατί; Γιατί 4 Χ 9 = 36.
Και έχω κι άλλον ένα διαιρέτη, ο οποίος αν πολλαπλασιαστεί...
με τον εαυτό του μου δίνει 36 και είναι το 6.
Με τον ίδιο τρόπο πάμε να βρούμε τους διαιρέτες του 96.
Έχουμε λοιπόν τον 1 και το 96.
Το 2 και το 48.
Το 3 και το 32.
Το 4 και το 24.
Το 5 όχι. Το 6 ναι.
Με το 16.
Το 7 όχι και έχω και το 8 με το 12.
Τι θα κάνω λοιπόν τώρα; Θα βρω ποιοι είναι οι ίδιοι. Θα τους υπογραμμίσω.
Έχουμε λοιπόν το 1,
το 2,
το 3,
το 4,
το 6...
Το 8 δεν θα το υπογραμμίσω γιατί δεν υπάρχει σε όλους τους αριθμούς...
και το 12.
Τι θα πούμε λοιπόν; Ότι ο ΜΚΔ των αριθμών...
24, 36 και 96 είναι το 12.
Αυτός είναι ο πρώτος τρόπος για να υπολογίζουμε τον ΜΚΔ.
Πάμε να δούμε και τον δεύτερο τρόπο!
Ο δεύτερος τρόπος είναι πολύ πιο εύκολος.
Τι κάνουμε;
Γράφουμε τους τρεις αριθμούς στη σειρά.
Θέλουμε να βρούμε τον ΜΚΔ του 24, του 36 και του 96.
Προσέξτε τι κάνουμε, παιδιά!
Κοιτάζουμε τους αριθμούς. Ποιος είναι ο μικρότερος;
Το 24.
Τον γράφω ξανά στη δεύτερη γραμμή.
Και τι λέω;
Το 24 στο 36 πόσες φορές χωράει;
Χωράει 1 φορά.
Πόσο περισσεύει; Ποιο είναι το υπόλοιπό μου;
Το 12.
1 Χ 24 = 24 και 12 το υπόλοιπο, το γράφω κάτω από το 36.
Προσέξτε, πάω να βρω τώρα το 24 πόσες φορές χωράει στο 96.
Το 24 στο 96 χωράει 4 φορές.
4 Χ 24 = 96.
Άρα δεν αφήνει κανένα υπόλοιπο. Οπότε τι γράφω, παιδιά; 0.
Βλέπω ότι στη δεύτερη γραμμή έχω τώρα τρεις νέους αριθμούς.
Το 0 που δεν το πειράζω καθόλου, το 12 και το 24.
Ποιος είναι ο μικρότερος; Το 12.
Το ξανακατεβάζω κάτω.
Τι θα πω λοιπόν τώρα;
Το 0 όπως είναι.
Το 12 στο 24 χωράει 2 φορές.
2 Χ 12 = 24.
Άρα δεν έχω κανένα υπόλοιπο.
Τι μου μένει; 0.
Βλέπω λοιπόν ότι έχω έναν αριθμό και τα δύο μηδενικά.
Αυτό σημαίνει ότι ο ΜΚΔ...
των αριθμών 24, 36 και 96 είναι το 12.
Νομίζω ότι είναι πολύ - πολύ πιο εύκολος τρόπος ο συγκεκριμένος.
Πότε έχω τελειώσει;
Όταν έχω μόνο έναν αριθμό στην τελευταία γραμμή και οι υπόλοιποι είναι 0.
Πάμε λοιπόν να δούμε δύο τελευταία προβλήματα τα οποία θα τα διαβάσουμε.
Αν θέλετε μπορείτε να τα σημειώσετε γιατί ο χρόνος λίγο πιέζει...
και να προσπαθήσετε να τα λύσετε μόνοι σας.
Με όποιον τρόπο αρέσει σε εσάς. Να τα δούμε!
(Η δασκάλα διαβάζει το πρώτο πρόβλημα)
Νομίζω ότι μπορώ να σας κάνω το πρώτο πρόβλημα με τον εύκολο τρόπο,
για να σταματήσουμε εδώ και το δεύτερο θα το λύσετε μόνοι σας.
Για να το δούμε λοιπόν, παιδιά.
Θέλουμε να φτιάξουμε ανθοδέσμες.
Ανθοδέσμες από διαφορετικά χρώματα στα τριαντάφυλλα τα οποία έχει ο ανθοπώλης.
Μας λέει λοιπόν ότι έχει 192 κόκκινα.
Έχει 120 λευκά.
Και έχει και 72 κίτρινα.
Πάμε να δούμε με τον δεύτερο τρόπο πώς μπορούμε να βρούμε τον ΜΚΔ.
Τι είπαμε ότι κάνουμε: γράφουμε τους αριθμούς τον έναν δίπλα στον άλλο σε μια γραμμή.
Γράφω το 192, το 120 και το 72.
Κοιτάζω λοιπόν τους αριθμούς μου.
Βλέπω ποιος είναι ο μικρότερος.
Ποιος είναι ο μικρότερος; Το 72.
Το κατεβάζω το 72 ακριβώς από κάτω.
Και πάω να δω τώρα πόσες φορές χωράει το 72 στο 192 και στο 120.
Γιατί το υπόλοιπο θα το γράψω ακριβώς κάτω απ' τους αντίστοιχους αριθμούς.
Το 72 λοιπόν στο 192 χωράει 2 φορές.
Το υπόλοιπο που μου αφήνει είναι 48.
Το 72 στο 120 χωράει 1 φορά.
Το υπόλοιπο που μου αφήνει είναι 48.
Βλέπω ότι στη δεύτερη γραμμή έχω δύο φορές το 48 και το 72.
Αυτό το αντιμετωπίζω ως ένα.
Τι κάνω λοιπόν; Ξανακατεβάζω το μικρότερο, το 48,
στην άλλη γραμμή. Και τι θέλω να βρω τώρα;
Πόσες φορές το 48 χωράει στο 72.
Χωράει 1 φορά.
Και μου περισσεύουν πόσα, παιδιά; Περισσεύουν 24.
Έχω την τρίτη γραμμή, στην οποία έχω 48, 48 και 24.
Ποιο είναι το μικρότερο; Το 24.
Άρα τι κάνω; Κατεβάζω το μικρότερο και βλέπω πόσες φορές χωράει στα δύο.
Άρα το 24 στο 48 χωράει 2 φορές και δεν μου αφήνει κανένα υπόλοιπο.
0. Το ίδιο και εδώ. Άρα τι βρήκα; Βρήκα 24 και για τους άλλους δύο έχω μηδενικό υπόλοιπο.
Τι σημαίνει αυτό;
Ότι ο ΜΚΔ του 192, του 120 και του 72 είναι το 24.
Νομίζω ότι είναι πιο εύκολο από το να βρίσκαμε όλους τους διαιρέτες αυτών των αριθμών.
Πάμε λοιπόν να σας διαβάσω το τελευταίο πρόβλημα για να τελειώσουμε σήμερα.
Και αν έχετε την καλοσύνη, γράψτε σε ένα χαρτί...
τα νούμερα τα οποία σας λέω, για να το λύσετε μόνοι σας.
(Η δασκάλα διαβάζει το δεύτερο πρόβλημα)
Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορείτε είτε να δουλέψετε...
γράφοντας σε μία γραμμή τα τέσσερα διαφορετικά νούμερα...
είτε αν δεν θέλετε με τον δεύτερο τρόπο,
μπορείτε να γράψετε τους διαιρέτες του κάθε αριθμού,
να τους βρείτε, να υπογραμμίσετε τους ίδιους...
και ο μεγαλύτερος από αυτούς είναι ο ΜΚΔ.
Σας ευχαριστώ πολύ που ήμασταν μαζί. Θα τα ξαναπούμε σύντομα.
Καλή συνέχεια!
