永远 不倒 的 里拉 斜塔 ：一摞 书 一个 比 一个 凸出 ，最多凸 多少？ The Leaning Tower of Lira, which will never fall: a stack of books that bulge out more than one another.

各位 同学 大家 好 我 是 李永乐 老师 最近 有个 小朋友 问 了 我 一个 问题 比萨斜塔 为什么 不会 倒 呢 这个 问题 非常 的 复杂 涉及 到 许多 的 工程 和 数学知识 科学家 们 也 没有 完全一致 的 结论 不过 我们 可以 在家 里面 做 一个 模拟 比萨斜塔 有人 管它 叫 里拉 斜塔 Some people call it the Leaning Tower of Rila 我们 先看 一下 这个 实验 为什么 这些 书 一个 一个 凸出来 却 不会 倒下 它们 最 多 可以 凸出 多远 呢 今天 我们 就 来 研究 一下 这个 问题 为了 研究 这个 问题 我们 首先 来 带 大家 回顾 一下 初中 的 物理 知识 那 就是 杠杆 比如 我们 把 质量 分别 是 m₁ m₂ 的 两个 物体 放在 了 一个 很轻 的 杠杆 上 我们 在 什么 位置 施加 一个 支点 它 才 能够 平衡 那 我们 知道 你 要 想 平衡 的话 应该 有 初中 物理 的 知识 力 和 力臂 的 乘积 要 相等 比如说 左边 物体 的 重力 G₁ 右边 物体 重力 是 G₂ 而 这个 力臂 分别 是 r₁ 和 r₂ 对 吧 那么 当 G₁×r₁=G₂×r₂ 的 时候 这个 杠杆 它 就 平衡 了 这个 是 杠杆 平衡 的 一个 基本原理 我们 可以 把 它 作 一个 移项 就是 这 两个 物体 的 力臂 之 比 它 应该 等于 什么 它 应该 等于 G₂ 和 G₁ 之 比 它 应该 等于 重力 的 反比 也就是说 这 两个 物体 如果 一样 重 的话 你 这个 支点 就 应该 架 在 正 中央 对 不 对 就 应该 架 在 正 中央 如果 你 质量 之 比 是 2:1 的话 那么 你 这个 力臂 之 比 就 应该 是 1:2 你 架 在 1/3 的 位置 它 就 能够 平衡 了 对 不 对 这是 我们 初中 的 时候 学习 过 的 一个 知识 事实上 之所以 能够 平衡 就是 因为 这个 点 它 就是 构成 了 系统 的 什么 系统 的 重心 就 这 两个 物体 有 一个 重心 你 就 把 支点 给 我 架 在 重心 上 它 就 能够 平衡 如果 我们 不是 用 一个 支点 来支 而是 用 一个 木板 去 架 着 它 的话 咱们 看 木板 要是 这么 放 这个 系统 是 可以 静止 的 对 吧 这么 放 也 行 ... 到 这儿 这是 临界 情况 如果 你 木板 再 往 下移 因为 重心 已经 凸出 了 木板 了 它 就 一定 会 翻倒 对 不 对 所以 不 翻倒 的 条件 就是 重心 一定 在 下面 的 支撑物 以上 对 不 对 好 我们 明白 了 这个 问题 之后 我们 下面 看 我们 刚才 做 的 斜塔 实验 是 怎么回事 首先 最 上面 有 一个 木块 或者 是 书 或者 什么 其他 的 东西 是 吧 我们 假设 它 的 长度 是 L 那么 因为 它 是 匀质 的 所以 它 的 重心 在 正 中央 我们 设 它 为 G₁ 就是 第一块 板 的 重心 好 我们 下面 要放 第二块 板 第二块 板 相当于 是 一个 支撑物 它 如果 想 支撑住 第一个 板 而 不 倒下 的话 它 的 边缘 最起码 应该 跟 重心 齐平 你 再 往 左点 也 行 你 再 往右 一点 重心 凸出 边缘 它 就 会 倒下 对 不 对 所以 临界 情况 应该 是 凸出 一半 对 吧 因此 第二 块砖 它 应该 正好 放在 这个 位置 边缘 就 在 这 是 吧 于是 你 就 会 凸出 一个 位置 来 这 叫 L₁ 当然 右边 这个 长度 也 是 L₁ L₁ 有 多长 显而易见 它 就是 重心 到 左 边缘 的 距离 那 正好 就是 板长 的 一半 所以 应该 是 L/2 对 吧 好 你 放 的 这块 板 重心 在 这个 位置 重力 大小 还是 G G₁ 和 G₂ 是 一样 大 的 现在 我 又 要 用 一个 支撑物 去 支撑 上面 这 两个 物体 了 我们 把 这 两个 物体 看作 一个 整体 你 知道 这个 整体 的 重心 在 哪 吗 这个 也 不难理解 因为 整体 只分 两个 部分 一个 是 G₁ 一个 是 G₂ 它 俩 质量 是 一样 的 所以 按照 我们 刚才 所说 的 重心 到 两 物体 距离 之 比 等于 质量 反比 你 质量 一样 所以 重心 在 哪儿 在 正 中央 对 吧 这 就是 前 两块 板 的 整体 重心 位置 在 这 两个 重心 的 中央 好 那 既然 这样 我们 要 想 用 一个 板子 去 支撑 前 两个 物体 的话 你 的 边缘 正好 得 顶 到 上 两块 板 的 重心 位置 所以 你 再 往 下 画 下 一块 板 临界 情况 就 应该 是 放在 这个 位置 于是 你 就 又 凸出来 了 一个 距离 叫做 L₂ 这个 L₂ 的 长度 大家 看能 不能 算 出来 L₂ 是 多长 G₁ 和 G₂ 是 相等 的 所以 这 两个 距离 也 是 相等 的 也 就是 它 等于 1/2 的 板长 的 一半 对 不 对 是 这么 长 好 继续 我们 把 前 三个 物体 看作 是 一个 整体 这个 整体 它 的 重心 又 在 哪 我们 思考 前 两个 物体 它 的 重心 是 在 这 第三个 物体 重心 是 在 这 重力 之 比 是 2:1 所以 重心 到 两边 的 距离 之 比 就 应该 是 1:2 也 就是 我 应该 在 这里 对 吧 1/3 2/3 这样 的 位置 有 一个 重心 这个 点 就是 前 三块 板 的 重心 我们 放 第 4 块板 的 时候 第 4 块板 的 重心 位置 必须 顶到 这个 边缘 是 吧 所以 我们 放 第 4 块板 是 这样 的 它 就 又 会 凸出来 一点 叫做 L₄ 这个 L₄ 的 大小 是 多少 刚才 说 了 是 1:2 的 关系 所以 是 1/3 再 乘以 整个 的 长度 是 板长 的 一半 L/2 对 吧 等等 这里 写错 了 应该 是 L₃ 第三块 板 就 重新 凸出 了 (1/3)×(1/2)L 对 吧 依次 类推 那么 我 问 如果 一共 要 凸出 n 块板 的话 你 告诉 我 一共 凸出 了 多少 呢 很 简单 那 就是 (1/2)L 再 乘以 1+1/2+1/3+1/4+... 一直 往下加 加到 1/n 对 吧 这 就是 如果 你 一共 有 n 块板 的话 它 一共 可以 凸出 的 距离 大家 仔细 看 前面 那个 1/2 我 不管 了 后面 这 一大堆 玩意 以前 我们 在 讲 黎曼 猜想 第一期 的 时候 说 过 这 叫 什么 这个 叫做 调和级数 而且 我们 还 证明 了 调和级数 是 发散 的 什么 叫 发散 就是 你 越往后 加 这个 数它 越 小 但是 如果 你 n 无限 的 加下去 这个 数会 变到 无穷大 对 吧 大家 可以 回头 去 看 一下 那个 视频 如何 证明 它 是 发散 的 这个 名字 叫 调和级数 为什么 叫 调和级数 因为 每一项 都 是 前后 两项 的 调和 平均数 Because each term is the harmonic average of the two preceding and following 所谓 调和 平均数 就 指 的 是 这个 数 的 倒数 是 前后 两个 数 倒数 的 平均数 你 看 2 的 倒数 是 1 和 1/3 倒数 的 平均值 1/3 的 倒数 是 1/2 和 1/4 倒数 的 平均值 对 吧 就 这么 个 意思 如果 你 要是 凸出 4 个 木块 来 n 等于 4 你 就 会 发现 那么 你 能够 一共 凸出来 的 距离 有 多长 有 1.04 个 L 也就是说 你 有 4 块 这样 的 砖 的话 你 最 上面 那 块砖 它会 整个 的 悬空 如果 你 要是 有 n 等于 50 块砖 你 就 会 发现 这个 时候 凸出来 的 距离 是 2.25 个 L 是 吧 那 就是 凸出 两块 砖 还要 多 的 距离 如果 你 这个 n 无穷大 的话 那么 你 就 会 发现 这个 距离 会 越来越 大 理论 上 讲 你 靠 这个 一个 一个 的 木板 摞 起来 你 可以 造 出 任意 长度 的 这么 一个 斜塔 可以 造 一个 跨海大桥 是 吧 是 这个 样子 那么 对于 这个 调和级数 咱们 多 说 一句 最早 研究 它 的 人 是 欧拉 在 1735 年 的 时候 著名 的 数学家 欧拉 对于 调和级数 做 了 一定 的 研究 他 说 1+1/2+1/3+1/4+...+1/n 如果 n 无穷大 的话 这个 数列 是 发散 的 这个 是 显而易见 大家 都 可以 证出来 那么 它 到底 是 多少 呢 欧拉 经过 一大堆 的 计算 发现 说 这个 值 当 这个 n 无穷大 的 时候 当 这个 n 趋向于 无穷大 的 时候 n 趋于 无穷的 时候 它 等于 ln(n)+C 就是 以 e 为底 n 的 对数 然后 再 加 一个 常数 因为 你 n 去向 无穷的 时候 第一项 是 无穷大 的 所以 说 整个 级数 也 是 无穷大 的 后面 的 这个 常数 我们 管它 叫 欧拉 常数 欧拉 常数 有 多 大 欧拉 常数 等于 0.577... 是 吧 对于 欧拉 常数 人们 现在 已经 算出 了 几百亿 位 了 但是 到 目前为止 人们 还 不 知道 欧拉 常数 到底 是 一个 有理数 还是 一个 无理数 数学 就是 这么 的 迷人 而 又 复杂 是 吧 今天 给 大家 讲 了 一个 有关 斜塔 的 有趣 的 实验 还 讲 了 一下 欧拉 常数 的 问题 大家 如果 在家 里面 有 条件 的话 可以 自己 试一试 看看 你 搭 出 的 斜塔 到底 可以 伸出 多长 来 大家 如果 喜欢 的 视频 可以 在 YouTube 账号 李永乐 老师 里 订阅 我 点击 一下 铃铛 可以 第一 时间 获得 更新 信息