¿Cuántos puntos tiene el CONJUNTO DE CANTOR?
Hola amigos, hoy os quiero presentar al primer engendro de nuestra galería de monstruos matemáticos.
El CONJUNTO de CANTOR
se trata de un conjunto con muchísimas propiedades que desafían a la intuición,
y de hecho este conjunto constituye el primer fractal conocido.
el conjunto de cantor debe su nombre al matemático alemán Georg Cantor
quien en 1883 lo presentó a la comunidad matemática. Lo que cantó no sabía es que ...
su conjunto ya había sido descubierto en 1874 por el matemático dublinés Henry John Stephen Smith.
Pero al morir Henry John en 1883 y ser poco conocido su descubrimiento,
el nombre de cantor quedó asociado para siempre a este conjunto.
En el vídeo de hoy veremos la construcción geométrica del conjunto de Cantor. Imaginemos por un momento que Cantor en vez de un matemático alemán fuera no sé...
Un escultor francés. ¿qué hace un escultor?
A partir de un bloque de mármol batallando a golpe de martillo y cincel eliminando partes
hasta llegar finalmente a su obra.
Pues esto mismo es lo que vamos a hacer para construir nuestro conjunto
pero en vez de un bloque de mármol
comenzaremos con el intervalo 01 que dividimos en tres y eliminamos la parte de en medio
a su vez cada una de las partes restantes volvemos a dividirla en tres
y con nuestro martillo y cincel imaginario vamos tallando la parte de en medio
continuamos con este procedimiento dividiendo en tres cada trozo
y siempre eliminando la parte de en medio
y en el límite en un número infinito de pasos
lo que nos queda es justamente el conjunto de Cantor.
La pregunta que os hago es la siguiente, ¿Han sobrevivido muchos puntos? Es más,
¿Ha quedado alguno? ¿O el conjunto de cantor es el conjunto vacío?
Pues la respuesta es que de hecho hay bastantes puntos en este conjunto.
Fijaros que los extremos del intervalo esto es el 0 y el 1 nunca van a ser tallados.
En efecto consideramos el intervalo abierto de extremos un tercio y dos tercios y lo eliminamos.
Pero el 0 y el 1 están lejos de ser eliminados
y ni en este paso ni en el siguiente los vamos a tallar.
De hecho ahora tenemos 4 puntos
esto es 2 al cuadrado y ninguno de estos puntos va a ser tocado.
Claro cuando consideramos los intervalos abiertos un noveno dos novenos y siete novenos
ocho novenos y los eliminamos estamos lejos de detallar estos puntos
Así que todos los extremos de los intervalos abiertos que vamos tallando sobreviven.
Y si al principio teníamos dos puntos en el segundo paso tenemos cuatro
y en el tercero tenemos 8... 16... 32... y así sucesivamente.
En el paso n tendremos 2 elevado a n.
En definitiva en el límite en el conjunto de cantor hay infinitos puntos.
Y todos los que hemos visto son de la forma un número entero dividido entre una potencia de tres
para ciertos valores de k.
La pregunta que os hago para el próximo
vídeo es la siguiente,
¿hay más puntos en el conjunto de cantor que no sean de esta forma?
Dejad vuestra respuesta en los comentarios
y las discutiremos en el próximo vídeo.
¡Hasta luego! 👋🏻👋🏻👋🏻
