如何 手算 开平方 ？学会 这个 你 又 能 跟 小伙伴 炫耀 了！
各位 同學 大家 好 我 是 李永樂 老師
現在 放假 了
我換 了 個 地方 給 大家 講課
今天 我 嘗試 著 使用 這塊 電子白板
給 大家 講壹節 課
最近 有個 小朋友 跟 我 說
他 在 工作 當中 經常 會 遇到 求壹 個數 的 平方根
但是 有 的 時候 手邊 沒有 計算器 就 很 麻煩
他 想問 我 有沒有 什 麽 方法
能夠 快速 地 計算 出壹 個數 的 平方根 呢
今天 就給 大家 介紹 兩種 手 算求 平方根 的 方法
我們 首先 先來 介紹 第壹種 方法
第壹種 方法 我們 稱之為 連分數 法
什 麽 叫 連分數 法 呢
也就是說 如果 我們 想求 壹 個數
它 的 平方根 就 √s 是 吧
我 先 把 這個 s 我 寫成 壹個 完全 平方 數
再 加上 壹個 比較 小 的 部分 這樣 的 形式
其中 這個 a² 它 遠遠 大於 b
讓 a 盡量 大 b 盡量 小 是 吧
這樣 壹來 我們 就 可以 計算 了
公式 是 這樣 的
√s 它 等於 a 加上 壹個 大 橫線
b 除以 2a 加上 壹個 大 橫線
b 除以 2a 加上 壹個 大 橫線
b 除以 2a 加上 ...
那 麽 這個 公式 就是
手算 平方根 的 壹個 很 方便 的 公式 了 是 吧
妳 只要 能 把 這個 數字 它 寫成 a²+b 的 形式
然後 把 a 和 b 代入 到 這個 公式 裏 就行了
這 公式 有 無數 多層
但是 妳 不 需 要求 無數 多層
妳 求 的 層數 越多 就 越接 近於 這個 數的 平方根
我們 來舉 壹 個例 子
比如說 我們 想求 150 的 平方根
求 √150
那 我 先 把 150 寫成 壹 個數 的 平方
再加 壹 個數 的 形式
150 等於 多少 呢
我 可以 把 它 寫成 144 再加 6
144 是 12 的 平方 對 吧
所以 就是 12²+6
這樣 寫 比較 好
因為 最後 這個 余項 6 比較 小
妳 當然 也 可以 寫成 100+50
100=10²
但 那 麽 寫 的話
它 收斂 起來 會 比較慢 好
我們 寫成 這個 樣子
寫 完 了 之後 下壹步 要 幹什 麽 呢
我們 首先 想 如果 我們 代入 公式 的 時候 取 0 層
什 麽 叫 0 層 呢
就是說 我 後面 這些 全都 不取
我 就 取 前面 這第壹項
那 這樣的話
我們 就 說 √150 它 是 約等於 12 是 吧
約等於 12 這就 比較 粗糙 了
如果 我們 取 1 層 呢
取 1 層 這個 √150
它 就 應該 約等於 12+b/(2a)
b 是 多少 b 是 6
2a 就是 24
這個 數 等於 12.25 對 吧
好 這個 數就 比較 接 近於 √150 了
如果 我們 要是 取 兩層 呢
取 兩層 的話 √150 它 就 等於 12 加上
加什 麽 加上 6/(24+6/24)
這就 叫 兩層 對 吧
代 進去 之後
最後 的 這個 結果 是 12.2474226 好
那 麽 如果 我們 真的 用 計算器
把 √150 摁 出來
√150 究竟 等於 多少 呢
它 實際上 的 值 √150
它 是 等於 12.2474487...
妳會 發現 我們 取 了 兩層 之後
它 就 已經 非常 接近 了
小數點 後 前 4 位 都 是 壹樣 的 對 不 對
如果 我們 取壹層 的話 呢
小數點 後 第壹位 壹樣
第二位 差 了 壹點
如果 我們 取 0 層 的話 呢
從小 數點 後 第壹位 開始 就 不壹 樣
所以 我們 就 說 取 的 層數 越 多
妳 就 越 接近 真實 的 √150
怎 麽 樣 這種 方法 是不是 很快
那 麽 這種 方法 的 原因 是 什 麽 呢
咱們 下壹步 來 證明 壹下
首先 我們 把 它 圈選 起來
然後 放到 壹個 比較 小 的 範圍 裏
證明 這個 式子 其實 並不 復 雜
怎 麽 證呢 我們 假設 s 是 可以 寫成 a²+b 的
然後 我們 就 移個 項 s-a²
是不是 等於 b
平方差 公式 我們 就 有 (√s+a)(√s-a)
它 是不是 就 等於 b
我們 把 √s+a 移項 到 右邊 來
就 變成 了 √s-a 等於 b/(√s+a)
我們 再 把 這個 -a 挪到 等號 右邊 去
是 不 變成 了 √s 等於
a+b/(a+√s) 對 吧
好 我們 看 √s 在 哪 呢
首先 在 右下角 有壹個 √s
但 其次 這個 整體 它 也 是 √s 對 不 對
所以 我們 可以 把 整體 代入 到 它 的 部分 裏面 去
類似 於 計算機 中 的 遞歸
把 壹個 整體 帶到 裏邊 去
我 在 這個 函數 裏邊 還 調用 了 自己
那 麽 遞歸 之後 會 有 什 麽 結果 呢
咱們 看 √s 就 等於 a 加上
然後 b 除以 a 加上 √s
把 這 √s 用 這個 大 的 框去 代替 對 不 對
那 就是 a+b/(a+√s)
大家 註 意 看 就是 這個 框
它 其實 就是 剛才 的 這個 √s 我 把 它換 了
其它 部位 都 是 壹 模壹樣 的 是不是
好 那 麽 把 它 整理 壹下
妳 就 會 發現 這個 結果 它 就 變成 了
a+b/(2a+b/(a+√s))
現在 妳 這裏 邊 還有 壹個 √s
那 我 是不是 還 可以 用剛 才 的 這個 數
往 √s 裏邊 代 我壹次 又 壹次 的 代入
除了 第壹項 它 是 壹個 a 以外
剩下 的 這些 項 都 是 2a
就是 a+b/(2a+b/(2a+b/...) )
這 麽 壹直 下去
於是 就 回到 了 最 開始 我們 所 解釋 的 這個 式子 了
所以 這個 公式 證明 起來 其實 也 沒有 那 麽 的 復 雜
好 我們 把 它 也 縮小 壹下
第壹種 方法 給 大家 介紹 完 了 之後
我們 再 來說 第二種 方法
如果 妳 不想 用 這種 壹次 壹次 叠代 的 方法
我們 還有 壹種 方法
我們 就是 可以 利用 長 除法 跟 除法 差不多
長 除法 的 這種 方法 來求 平方根
它 有 這 麽 幾個 步驟
分段 然後 試根 然後 求余項
分段 試根 求余項 這樣 的 壹個 方法
我們 舉 個例 子 比如說 我們 想求 壹 個數
這個 數 叫做 1234
我問 它 的 平方根 是 多少 怎 麽 辦 呢
我 寫 壹個 類似 於 這種 除號 的 這種 符號
寫 完 了 之後 我們 首先 分段
所謂 分段 是 以 小數點 為 基準 向 左向右 兩位 壹段
兩位 壹段 34 壹段 12 壹段
再往 左不分 了 沒 有數 了
往右 也 是 00 壹段 再 逗號 00 壹段
然後 妳 還 可以 繼續 往下 寫
然後 我們 要求 它 的 平方根
這個 根 每 兩位 求壹個
12 上面 求壹個 根 34 上面 求壹個 根
00 上面 求壹個 根 00 上面 求壹個 根
然後 這個 根 的 小數點 的 部位 它 其實 是 不變 的 還在 這
至於 這個 根 怎 麽 求 那 麽 下 壹項 就要 試根
比如說 我們 先看 第壹段
第壹段 這個 數字 是 12
12 是不是 壹 個數 的 完全 平方 數呢 它 不是
那 於是 我們 就 找 壹個 比 12 小
而且 最 接近 12 的 完全 平方 數
比 12 小且 最 接近 12 的 完全 平方 數是 幾
是 9 對 吧 9 的 平方根 是 3
我 在 這裏 要 寫 兩個 數字
這 兩個 數字 必須 是 壹樣 的
而且 乘起來 就是 比 12 小 的 那個 完全 平方 數
是 9 所以 我 這裏 寫 3 這也 寫 3
3 3 得 9 我們 第壹步 就 做 完 了
12-9 應該 是 余 3 寫 完 了 余 3 之後
我 把 這 34 我 落下來 落下來
然後 我 開始 求 第二個 根
求 第二個 根 的 時候 方法 就 比較 奇怪 了
大家 註 意 看
我 需要 在 原來 已經 求 出 這個 根 的 基礎 上
我 做 壹個 事 我 把 它 乘 20
3 的 20 倍 是 幾 是 60
我 在 這裏 寫個 6
但是 那個 10 不要 寫 在 這畫 壹個 方框
我 就 像 剛才 壹樣
這個 方框 裏邊 的 數字
必須 和 這個 第二位 的 根是 壹 個數 字
就是 六十 幾 乘以 幾
它 能夠 不比 334 大 而且 最 接近 334
我 再說 壹遍 就是 六十 幾 乘以 幾
這倆 “ 幾 ” 得 是 壹樣 的
它 應該 是 比 334 小 而且 還最 接近 334
咱們 算算 65×5 行不行
65×5 好像 是 可以 吧
這個 地方 是 5 這個 地方 也 是 5
65×5 那 應該 是 325 正好
334-325 還 剩下 9 這 就是 余項
繼續 更新 余項 900
然後 幹什 麽 知道 吧
然後 我們 繼續 把 35×20
35×20 得 多少
35×20 得 700
寫個 70 最後 壹位 不要 寫
等 著 讓 這壹位 和 這壹位 壹樣
而且 乘 完 了 之後 它 應該 比 900 小
而且 能夠 最 接近 900
這數 填 幾
最 多 只能 填 1 對 嗎
妳 填 2 都 超 了 900 了
所以 這個 數 701
好 繼續 作差
900-701 是 199
再落 兩個 零 下來
19900
19900 下壹步 幹什 麽
把 351×20
乘 完 了 20 之後 應該 是 702
本來 要 加壹位 0 的
我們 不 加 加壹個 框
這個 框 必須 和 這個 框 的 數字 是 壹樣 的
而且 乘起來 之後 還得 比 19900 小
填幾
填 1 可以
填 2 可以
填 3 就 不行 了
所以 這個 地方 我們 應該 填 2
驗證 壹下 是 14044 對 吧
再往 下 繼續 求余項
好 現在 我們 其實 就 已經 把 這個
根號 下 1234
它 的 四位數 有效數字 都 寫 出來 了
就是 35.12
妳 還 可以 繼續 按照 這個 法則 去 寫
不停 地寫
最後 就 能算得 越來越 精確 了
實際上 妳 用 計算器 去 按
妳會 發現 根號 下 1234
確實 是 35.12 什 麽 什 麽 什 麽 對 吧
這種 方法 它長 得 非常 奇怪
那 我 就 想問 了
說 為 什 麽 使用 這種 方法 是 合理 的 呢
下面 咱們 也 對 這種 方法 進行 壹下 證明
我們 對 這種 方法 進行 壹下 證明
怎 麽 證明 呢
我們 看 假如 √s
它 可以 寫成 ab 加個 橫線 的 形式
什 麽 叫 ab 加 橫線 呢
就是 個位 是 b 這個 數字
十位 是 a 這個 數字 是 吧
它 可以 寫成 10a+b
假如 這 √s 可以 寫成 這種 樣子 的話
那 麽 我們 可以 把 它 平方
那 s 就 應該 等於 (10a+b)²
它 應該 等於 100a²+20ab+b² 對 吧
應該 寫成 這個 樣子
現在 我們 做個 移項 就 變成 了 s-100a²
它 應該 等於 20ab+b²
我們 把 右邊 的 這個 b 提 出來
就 變成 了 s-100a²
它 應該 等於 20a+b 然後 再 乘個 b
寫成 這個 樣子
大家 來看
100a² 的 意思 就是 在 a² 上面 加 兩個 0
所以 這就 意味著 它 是 兩位 壹段
s-100a² 這壹項 其實 就是 什 麽
就是 我們 剛才 反 復 在 求 的 余項
這個 余項 它 應該 等於 什 麽 呢
它 應該 等於 妳 之前 已經 求 出來 的 那個 近似 根
怎 麽 著 乘 20
乘 完 了 20 之後 加什 麽 加壹 個數 字
而且 加完 了 之後 把 這個 數字 還得 再 乘 壹 個數 字
如果 這兩項 正好 相等
那 就 說明 妳 這個 開 根號 已經 開完 了
那 如果 要是 不 相等 呢
如果 不 相等 就 繼續 求余項
然後 利用 這種 方法 反 復 地 去 求
這不 就是 剛才 我們 壹直 在 使用 的 方法
那 麽 這樣 壹來 這種 方法 就 證明 完畢 了
怎 麽 樣
給 大家 介紹 這 兩種 方法 大家 學會 了 嗎
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